Une transformation qui remplace un polynôme ou une application non exprimée en formes multilineaires par une application explicitement multilineaire qui encode ses composantes homogènes multilineaires (forme polarisée ou analogue). Elle vise à isoler les parties k-linéaires d'un terme homogène de degré k et à représenter des opérations non linéaires par des tenseurs ou formes symétriques multilineaires.

Principe

Séparer les degrés homogènes et exprimer chaque polynôme homogène de degré k comme la restriction diagonale d'une application k-multilinéraire symétrique (unique lorsque les divisions nécessaires sont permises) ; autrement dit, obtenir la structure multilineaire par polarisation et symétrisation pour pouvoir employer les outils de l'algèbre tensorielle.

Démonstration

Pour un polynôme cubique homogène f sur un espace vectoriel V sur un corps de caractéristique zéro, construire la forme trilinéaire symétrique F(u,v,w) obtenue par polarisation, de sorte que f(v)=F(v,v,v). Par exemple, pour f(x)=a x^3 en une variable, la forme trilinéaire correspondante est F(x,y,z)=a x y z à un facteur de normalisation combinatoire près.

Mauvaise application

Appliquer la multilinéarisation sans précaution sur des anneaux à torsion en supposant que les mêmes formules tiennent : la division par des factoriaux peut être impossible, donnant des compagnons multilineaires non uniques ou inexistants. De même, traiter une application analytique non polynomiale comme si elle admettait une multilinéarisation finie sans préciser la coupure est trompeur.

Conséquence

La multilinéarisation fournit des invariants multilineaires et des représentants tensorielles de données algébriques non linéaires, permettant l'usage de la théorie des représentations, des contractions de tenseurs et des constructions universelles multilinéraires ; elle révèle des symétries et ramène certains problèmes non linéaires à l'algèbre linéaire sur des puissances tensorielle.

Inversion

La perspective inverse est la récupération diagonale ou l'effondrement par symétrisation : retrouver le polynôme homogène original en évaluant la forme multilineaire sur des arguments répétés, ce qui fait perdre la souplesse multilineaire et merge les positions tensorielle.

Limite

S'applique principalement aux applications polynomiales homogènes ou à celles admettant un développement polynomial de degré fini ; sur des anneaux où la division par des entiers est impossible, la normalisation canonique peut échouer. Elle ne s'applique pas en général aux fonctions non polynomiales arbitraires, aux applications non homogènes sans décomposition, ni aux structures fondamentalement non multilineaires.

Tension sémantique

Une tension existe entre la polarisation (construction d'une forme multilineaire symétrique à partir d'un polynôme) et la linéarisation naïve (approximation d'ordre un) : la multilinéarisation est algébrique et sensible au degré, la linéarisation est locale et perd l'information de degré supérieur.

Synthèse

La multilinéarisation est le procédé algébrique d'extraction, par polarisation et symétrisation, de tenseurs k-linéaires à partir des composantes homogènes d'un polynôme, sous réserve des contraintes de l'anneau de base ; elle convertit des données non linéaires homogènes en objets multilineaires exploitables par la théorie tensorielle, en signalant limites et conditions d'existence.