Eine Transformation, die ein Polynom oder eine nicht als multilinear dargestellte Abbildung durch eine explizit multilineare Abbildung ersetzt, welche die homogenen multilinearen Komponenten (die polarisierte bzw. polarisationsähnliche Form) enthält. Sie dient dazu, die k-linearen Anteile homogener Terme zu isolieren und nichtlineare Operationen als multilineare Tensoren bzw. symmetrische Formen darzustellen.

Prinzip

Die homogenen Grade trennen und jedes homogene Polynom vom Grad k als diagonale Einschränkung einer symmetrischen k-multilinearen Abbildung darstellen (eindeutig, sofern notwendige Divisionen möglich sind); äquivalent: durch Polarisierung und Symmetrisierung multilineare Struktur gewinnen, damit Techniken der Multilinearen Algebra anwendbar sind.

Demonstration

Gibt man ein homogenes kubisches Polynom f auf einem Vektorraum V über einem Körper char 0, so konstruiert man die symmetrische trilineare Form F(u,v,w) durch Polarisierung, so dass f(v)=F(v,v,v). Konkret: für f(x)=a x^3 in einer Variablen ist die assoziierte trilineare Abbildung F(x,y,z)=a x y z bis auf den kombinatorischen Normalisierungsfaktor.

Fehlanwendung

Die Multilinearisierung unkritisch über Ringe mit Torsion anwenden und die gleichen Formeln erwarten: Division durch Fakoriale kann unmöglich sein und zu nicht eindeutigen oder nicht existierenden multilinearen Begleitern führen. Ebenso ist es irreführend, eine analytische, aber nicht polynomiale Abbildung ohne Trunkierung als endlich multilinear darzustellen.

Konsequenz

Multilinearisierung liefert multilineare Invarianten und Tensorrepräsentanten nichtlinearer algebraischer Daten, ermöglicht den Einsatz von Darstellungstheorie, Tensor-Kontraktionen und universellen multilinearen Konstruktionen; sie macht Symmetrien sichtbar und reduziert einige nichtlineare Probleme auf Lineare Algebra auf Tensorpotenzen.

Umkehrung

Die inverse Sicht ist die diagonale Auswertung bzw. Symmetrisierung: das ursprüngliche homogene Polynom durch Auswertung der multilinearen Form auf wiederholten Argumenten zurückgewinnen; dabei geht die multilineare Flexibilität verloren und Tensorpositionen werden zusammengeführt.

Abgrenzung

Gilt vornehmlich für homogene Polynomabbildungen oder Abbildungen mit endlichem Polynom-Entwicklung; über Ringen, in denen Division durch ganze Zahlen nicht möglich ist, kann die kanonische Normierung fehlschlagen. Für beliebige nichtpolynomiale Funktionen, nichthomogene Abbildungen ohne Zerlegung oder für Strukturen, die grundsätzlich nicht-multilinear sind, ist sie meist nicht anwendbar.

Semantische Spannung

Spannungen bestehen zwischen Polarisierung (Konstruktion einer symmetrischen multilinearen Form aus einem Polynom) und einfacher Linearisierung (lokale, erste Ordnung Approximation). Multilinearisierung ist algebraisch und gradabhängig, Linearisierung ist lokal und verwirft höhere Grade.

Synthese

Multilinearisierung ist der algebraische Prozess, durch Polarisierung und Symmetrisierung aus homogenen Polynomanteilen k-lineare Tensoren zu extrahieren, unter Beachtung der Basisring-Bedingungen; sie wandelt homogene nichtlineare Daten in multilineare Objekte um, die für tensorielle Techniken zugänglich sind.