Procédure qui associe à un polynôme homogène une forme multilinéaire symétrique (forme polarisée) en évaluant le polynôme sur des combinaisons linéaires des variables et en extrayant les coefficients multilinéaires ; elle 'linéarise' les polynômes homogènes.

Principe

Utiliser les identités de polarisation : pour un polynôme homogène p de degré n, définir la forme n-linéaire B(v1,...,vn) par des différences finies ou par les dérivées directionnelles ∂^n p en zéro ; équivalemment, évaluer p sur des sommes et diviser par des facteurs factoriaux pour récupérer les coefficients multilinéaires symétrisés lorsque les factorielles sont inversibles.

Démonstration

Une forme quadratique q se polarise en la forme bilinéaire symétrique B(u,v) = (q(u+v) − q(u) − q(v) + q(0))/2. Pour un polynôme cubique homogène des formules de différences finies analogues fournissent une forme trilinéaire symétrique dont la diagonale restitue le cubique.

Mauvaise application

Appliquer la polarisation sans homogénéité ou sans traiter les problèmes de caractéristique (par exemple si n! n'est pas inversible) peut donner une multilinéarisation incorrecte ; considérer la polarisation comme une simple substitution formelle peut négliger les facteurs de normalisation nécessaires.

Conséquence

La polarisation produit des formes multilinéaires symétriques qui encodent les coefficients du polynôme et permettent de reconstruire le polynôme en évaluant la forme sur la diagonale ; elle relie les invariants polynomiaux aux objets multilinéaires et représentationnels.

Inversion

La diagonale (évaluer la forme multilinéaire sur des arguments répétés) est l'opération inverse : pour une forme symétrique n-linéaire B, le polynôme homogène p(x) = B(x,...,x) récupère le polynôme original à une normalisation près, donc polarisation et diagonalisation sont processus inverses quand les constantes de normalisation sont inversibles.

Limite

Nécessite que le polynôme soit homogène d'un degré donné et en général que les factorielles jusqu'à n soient inversibles dans l'anneau de base ; ne s'applique pas directement aux polynômes non homogènes sans décomposition en composantes homogènes.

Tension sémantique

Proche de mais distincte de la symétrisation : la polarisation produit une forme multilinéaire symétrique dont la diagonale donne le polynôme, tandis que la symétrisation agit sur des formes multilinéaires déjà existantes ; la confusion survient en changeant entre évaluation diagonale et identités de moyennage.

Synthèse

La polarisation est la procédure de différences finies et de normalisation qui transforme un polynôme homogène en sa forme multilinéaire symétrique associée et, par évaluation sur la diagonale, permet de revenir au polynôme, reliant ainsi coefficients polynomiaux et algèbre multilinéaire.