Ein Verfahren, das einem homogenen Polynom eine symmetrische multilineare Form (die polarisierte Form) zuordnet, indem man das Polynom an Linearkombinationen von Variablen auswertet und multilineare Koeffizienten extrahiert; es 'linearisiert' homogene Polynome.

Prinzip

Anwenden der Polarisationsidentitäten: Für ein homogenes Polynom p vom Grad n definiert man die n-lineare Form B(v1,...,vn) durch endliche Differenzen oder durch die Richtungsableitungen ∂^n p an der Nullstelle; äquivalent wertet man p auf Summen aus und teilt durch faktoriell gewichtete Konstanten, sofern Fakultäten invertierbar sind.

Demonstration

Eine quadratische Form q polarisiert zu der symmetrischen Bilinearform B(u,v) = (q(u+v) − q(u) − q(v) + q(0))/2. Für homogene kubische Polynome liefern analoge Differenzformeln eine symmetrische trilineare Form, deren Diagonale das ursprüngliche Polynom rekonstruiert.

Fehlanwendung

Polarisation ohne Homogenität anzuwenden oder Charakteristikprobleme (z. B. nicht invertierbare n!) zu ignorieren, kann zu falschen oder unvollständigen Multilinearisierungen führen; Polarisation als rein formale Substitution zu behandeln übersieht oft Normierungsfaktoren.

Konsequenz

Polarisation erzeugt symmetrische multilineare Formen, die die Koeffizienten des Polynoms kodieren und die Rekonstruktion des Polynoms durch Diagonalwerte erlauben; sie verbindet polynomiale Invarianten mit multilinearer und darstellungstheoretischer Struktur.

Umkehrung

Die Diagonale (Auswertung der multilinearen Form an gleichen Argumenten) ist die Umkehr: Gegeben B symmetrisch n-linear, rekonstruiert p(x) = B(x,...,x) das Polynom bis auf Normierung; Polarisation und Diagonalisierung sind inverse Prozesse, wenn Normierungskonstanten invertierbar sind.

Abgrenzung

Voraussetzung ist, dass das Polynom homogen und vom festen Grad n ist und meist, dass Fakultäten bis n im Grundring invertierbar sind; auf nicht-homogene Polynome muss man durch Zerlegung in homogene Komponenten arbeiten.

Semantische Spannung

Ähnlich aber verschieden zur Symmetrisierung: Polarisation liefert eine symmetrische multilineare Form, deren Diagonale das Polynom ergibt, während Symmetrisierung auf bereits vorhandene multilineare Formen wirkt; Verwechslungen treten beim Übergang zwischen Diagonalwerten und Mittelungsidentitäten auf.

Synthese

Polarisation ist das Verfahren von Differenzen und Normierung, das ein homogenes Polynom in die zugehörige symmetrische multilineare Form überführt und durch Diagonalbewertung wieder zum Polynom zurückkehren lässt, wodurch polynomiale Koeffizienten in multilinearer Algebra erschließbar werden.