La limite (projective) d'un système inverse d'objets muni de projections : un objet équipé de projections vers chaque terme qui est universel pour les applications se factorisant par des projections compatibles ; concrètement, ses éléments sont des suites d'éléments de termes cohé­rentes pour les morphismes de transition.

Principe

Imposer une compatibilité simultanée sur toutes les étapes en prenant des tuples dont les composantes se projettent de façon cohérente selon les morphismes de raccordement du système, produisant un objet qui encode l'ensemble des données de niveau fini avec des contraintes de compatibilité précises.

Démonstration

Les entiers p-adiques Z_p sont la limite projective du système Z/p^n Z avec les projections naturelles : un élément de Z_p est une suite cohérente (x_n) telle que x_{n+1} ≡ x_n (mod p^n), codant une complétion des entiers pour la topologie p-adique.

Mauvaise application

Confondre limite projective et produit et négliger les conditions de cohérence (traiter des tuples arbitraires au lieu de familles compatibles), ou supposer que les limites projectives préservent les suites exactes de façon générale alors que des foncteurs dérivés non nuls (comme lim^1) peuvent empêcher l'exactitude.

Conséquence

Les limites projectives produisent des complétions, des objets profinis et des espaces codant la compatibilité niveau par niveau ; elles sont indispensables pour construire des objets compacts ou complets à partir d'approximations finies mais peuvent échouer à commuter avec certains colimites ou à être exactes.

Inversion

La notion duale est la limite inductive, qui recolle vers l'avant en identifiant les images éventuelles ; les limites projectives, au contraire, restreignent des espaces de type produit en imposant une compatibilité de projection exacte.

Limite

Définie pour des systèmes inverses indexés par une catégorie dirigée (cofiltrante) ; les limites projectives peuvent avoir des foncteurs dérivés non triviaux (lim^1, etc.) qui mesurent les obstructions à l'exactitude ; il faut se méfier des morphismes de transition non surjectifs et des questions de taille d'ensemble.

Tension sémantique

La limite inverse est synonyme de limite projective, mais en pratique il faut distinguer la notion catégorique de limite des constructions informelles appelées « limites » en analyse ou topologie (complétions) où la topologie et des structures supplémentaires comptent ; de même, le lien avec les complétions profinies exige de préciser le système d'indexation.

Synthèse

Une limite projective est l'objet universel d'un système inverse formé par tous les tuples compatibles sous les projections : elle encode la cohérence simultanée entre étapes et fournit des complétions ou des constructions profinies à partir de données de niveau fini.