El límite (proyectivo) de un sistema inverso de objetos con mapas de proyección: un objeto equipado con proyecciones a cada etapa que es universal para aplicaciones que factoricen por proyecciones compatibles; concretamente, sus elementos son secuencias de elementos de las etapas coherentes bajo los mapas de transición.

Principio

Imponer compatibilidad simultánea en todas las etapas tomando tuplas cuyas componentes se proyectan de forma consistente según los mapas de enlace del sistema, produciendo un objeto que codifica todos los datos de nivel finito junto con restricciones de compatibilidad exactas.

Demostración

Los enteros p-ádicos Z_p son el límite proyectivo del sistema Z/p^n Z con las proyecciones naturales: un elemento de Z_p es una secuencia coherente (x_n) con x_{n+1} ≡ x_n (mod p^n), que codifica una completación de los enteros respecto a la topología p-ádica.

Aplicación incorrecta

Confundir el límite proyectivo con el producto e ignorar las condiciones de coherencia (tratar tuplas arbitrarias en vez de familias compatibles), o suponer que los límites proyectivos preservan secuencias exactas en general cuando los fontores derivados (como lim^1) pueden introducir obstrucciones a la exactitud.

Consecuencia

Los límites proyectivos producen completaciones, objetos profinitos y espacios que codifican compatibilidad por congruencia o por nivel de proyección; son imprescindibles para construir objetos compactos o completos a partir de aproximaciones finitas, pero pueden no conmutar con ciertos colímites ni ser exactos.

Inversión

La noción dual es el límite inductivo (directo), que pega hacia adelante identificando imágenes eventuales; los límites proyectivos recortan espacios tipo producto imponiendo compatibilidad exacta de las proyecciones.

Límite

Se definen para sistemas inversos indexados por una categoría dirigida (cofiltrada); los límites proyectivos pueden tener fontores derivados no triviales (lim^1, etc.) que miden obstrucciones a la exactitud; conviene precaución con mapas de transición no suryectivos y con cuestiones de tamaño set-theórico.

Tensión semántica

Límite inverso y límite proyectivo son sinónimos, pero en la práctica hay que distinguir la noción categórica de límite de construcciones informales llamadas 'límites' en análisis o topología (completaciones) donde la topología y estructura adicional importan; asimismo, la relación con completaciones profinitas requiere precisar el sistema de indexación.

Síntesis

Un límite proyectivo es el objeto universal de un sistema inverso formado por todas las tuplas compatibles bajo las proyecciones: codifica la coherencia simultánea entre etapas y produce completaciones o construcciones profinitas a partir de datos de nivel finito.