Le colimite d'un système direct (dirigé) d'objets et de morphismes compatibles : un objet muni d'applications canoniques depuis chaque terme du système, universel pour recevoir des morphismes compatibles depuis le système ; les éléments s'obtiennent comme classes d'équivalence d'éléments provenant d'un certain terme identifiés lorsqu'ils coïncident à un stade ultérieur.

Principe

Assembler une famille compatible d'objets le long de morphismes de connexion en identifiant les éléments qui deviennent égaux à des stades ultérieurs, produisant l'objet le plus petit recevant des applications du système et codant la compatibilité 'éventuelle' plutôt que la cohérence simultanée sur tous les termes.

Démonstration

La limite inductive d'une chaîne croissante d'espaces vectoriels V_1 ⊆ V_2 ⊆ V_3 avec inclusions est l'union ∪ V_i munie de la structure d'espace vectoriel de limite inductive ; un élément de la limite est un vecteur provenant d'un certain V_i considéré modulo les identifications induites par les inclusions.

Mauvaise application

Considérer la limite inductive comme la réunion disjointe naïve sans quotienter par la relation d'identification, ou la confondre avec un produit ou coproduit — la propriété universelle et les identifications sont essentielles et peuvent modifier les propriétés algébriques.

Conséquence

Les limites inductives offrent un procédé systématique pour construire des objets plus grands à partir de systèmes dirigés et commutent avec certains foncteurs (par exemple les limites inductives sont exactes dans la catégorie des modules), ce qui les rend indispensables pour construire des objets inductifs et étudier des phénomènes de stabilité selon les étapes.

Inversion

La notion duale est la limite projective qui impose la compatibilité par des projections vers tous les termes plutôt que d'identifier les images éventuelles ; là où la limite inductive 'colle en avant', la limite projective impose une cohérence simultanée en arrière.

Limite

Exige une catégorie d'index dirigée (système filtrant) et des morphismes respectant la direction ; toutes les colimites ne sont pas des limites inductives, et des problèmes de taille ou d'ensemble peuvent survenir pour des systèmes vastes ; les propriétés conservées par les limites inductives dépendent de la catégorie ambiante (p. ex. l'exactitude peut échouer dans certaines catégories).

Tension sémantique

« Limite inductive », « colimite filtrante » et « limite directe » sont souvent employés comme synonymes ; bien qu'équivalents dans de nombreuses catégories algébriques, il convient de prendre garde au vocabulaire dans des catégories où les colimites filtrantes diffèrent des colimites arbitraires ou où les conventions d'indexation varient.

Synthèse

Une limite inductive est l'objet universel obtenu en recollant un système dirigé le long de ses applications de sorte que les éléments des termes soient identifiés dès qu'ils coïncident ultérieurement, fournissant une construction inductive qui saisit le comportement éventuel du système.