El colímite de un sistema dirigido (directo) de objetos y morfismos que preservan la estructura: un objeto con aplicaciones canónicas desde cada etapa que es universal para recibir morfismos compatibles desde el sistema; los elementos se representan por clases de equivalencia de elementos de alguna etapa bajo la identificación eventual.

Principio

Ensamblar una familia compatible de objetos a lo largo de morfismos de conexión identificando elementos que se vuelven iguales en etapas posteriores, produciendo el objeto más pequeño que recibe mapas desde el sistema y codificando compatibilidad 'eventual' en lugar de coherencia simultánea en todas las etapas.

Demostración

El límite inductivo de una cadena creciente de espacios vectoriales V_1 ⊆ V_2 ⊆ V_3 con inclusiones es la unión ∪ V_i provista de la estructura de espacio vectorial del límite inductivo; un elemento del límite es un vector que proviene de algún V_i considerado hasta la identificación por las inclusiones.

Aplicación incorrecta

Tratar el límite inductivo simplemente como la unión disjunta sin cuocientear por la relación de identificación, o confundir límite inductivo con producto o coproducto — la propiedad universal y las identificaciones son relevantes y pueden cambiar propiedades algebraicas.

Consecuencia

Los límites inductivos ofrecen una manera sistemática de construir objetos grandes a partir de sistemas dirigidos y conmutan con ciertos funtores (por ejemplo, los límites inductivos son exactos en categorías de módulos), siendo esenciales para construir objetos por inducción y estudiar fenómenos de estabilidad entre etapas.

Inversión

La noción dual es el límite proyectivo (inverso), que impone compatibilidad mediante proyecciones a todas las etapas en lugar de identificar imágenes eventuales; donde el límite inductivo pega hacia adelante, el límite proyectivo exige coherencia simultánea hacia atrás.

Límite

Requiere una categoría de índices dirigida (sistema filtrado) y morfismos que respeten la dirección; no todos los colímites son límites inductivos, y pueden surgir problemas de tamaño para sistemas grandes; las propiedades preservadas por límites inductivos dependen de la categoría ambiente (p. ej. la exactitud puede fallar en algunas categorías).

Tensión semántica

Límite inductivo, colímite filtrante y límite directo se usan a menudo como sinónimos; aunque equivalentes en muchas categorías algebraicas, hay que ser cauteloso en categorías donde los colímites filtrantes difieren de los colímites arbitrarios o donde varían las convenciones de indexación.

Síntesis

Un límite inductivo es el objeto universal obtenido pegando un sistema dirigido a lo largo de sus mapas de modo que los elementos de las etapas se identifiquen cuando coinciden más tarde, produciendo una construcción inductiva que captura el comportamiento eventual del sistema.