Une algèbre associative dont une base est constituée de tous les chemins dirigés d'un quiver (graphe orienté), la multiplication étant la concaténation des chemins lorsque l'extrémité du premier coïncide avec le point de départ du second, et nulle sinon ; les chemins de longueur zéro aux sommets fournissent des idempotents verticaux.

Principe

Transformer les données combinatoires d'un graphe orienté en structure algébrique en prenant les chemins comme éléments de base et en faisant de la concaténation de chemins composables la multiplication associative, de sorte que la composition de chemins devienne multiplication dans l'algèbre.

Démonstration

Pour un quiver à sommets v1 → v2 → v3 avec flèches a:v1→v2 et b:v2→v3, la base de l'algèbre de chemins contient les idempotents e_{v1}, e_{v2}, e_{v3}, les flèches a, b et le chemin de longueur deux ab; on a a·b = ab, b·a = 0, e_{v1}·a = a = a·e_{v2}.

Mauvaise application

Prendre l'algèbre de chemins pour commutative, concaténer des chemins non composables en négligeant le produit nul, ou la confondre avec l'algèbre libre engendrée par les flèches sans tenir compte des idempotents des sommets et des contraintes source/puits.

Conséquence

Les modules sur l'algèbre de chemins s'identifient aux représentations du quiver ; les quotients de dimension finie par des relations présentent une large classe d'algèbres de dimension finie, faisant de ces algèbres un outil central en théorie des représentations.

Inversion

Inverser toutes les flèches du quiver donne l'algèbre opposée ; en dualité, considérer les combinaisons linéaires de chemins avec une structure de coalgebre par déconcaténation produit le coalgebre de chemins, qui inverse la direction de la composition algébrique.

Limite

Nécessite un graphe orienté (quiver) comme donnée de départ ; les quivers infinis ou les chemins de longueur infinie posent des problèmes de cardinalité et exigent des hypothèses de finitude supplémentaires ; la construction diffère de l'algèbre associative libre car les idempotents de sommet et les contraintes de composabilité imposent une structure additionnelle ; l'imposition de relations conduit à des quotients qui peuvent perdre la base de chemins naïve.

Tension sémantique

On parle parfois d'« algèbre de quiver » indistinctement ; il faut distinguer l'algèbre de chemins des autres algèbres liées à un quiver (par exemple les algèbres liées avec relations, les coalgebres de chemins) et de l'algèbre libre sur les flèches sans idempotents.

Synthèse

L'algèbre de chemins est l'algèbre associative construite à partir d'un graphe orienté en prenant les chemins dirigés comme base et en définissant la multiplication par concaténation des chemins composables, convertissant la composition combinatoire en structure algébrique utile pour les représentations du quiver.