Un álgebra asociativa cuya base está formada por todos los caminos dirigidos en un quiver (grafo orientado), con multiplicación dada por la concatenación de caminos cuando el extremo del primero coincide con el origen del segundo y definida como cero en caso contrario; los caminos de longitud cero en los vértices son idempotentes.

Principio

Codificar los datos combinatorios de un grafo dirigido en una estructura algebraica tomando los caminos como elementos de base y usando la concatenación de caminos composables como multiplicación, de modo que la composición de caminos se convierte en la operación algebraica asociativa.

Demostración

Para un quiver con vértices v1 → v2 → v3 y aristas a:v1→v2, b:v2→v3, la álgebra de caminos tiene base formada por idempotentes e_{v1}, e_{v2}, e_{v3}, las aristas a, b y el camino de longitud dos ab; se cumple a·b = ab, b·a = 0, e_{v1}·a = a = a·e_{v2}.

Aplicación incorrecta

Considerar la álgebra de caminos como conmutativa, concatenar caminos no composables ignorando que el producto debe ser cero, o confundirla con el álgebra libre generada por las aristas sin tener en cuenta los idempotentes de vértice y las restricciones de fuente/destino.

Consecuencia

Los módulos sobre la álgebra de caminos corresponden a representaciones del quiver; los cocientes de dimensión finita por relaciones describen una amplia clase de álgebras de dimensión finita, lo que convierte a las álgebras de caminos en una herramienta central en teoría de representaciones.

Inversión

Invertir todas las aristas del quiver produce el álgebra opuesta; en dualidad, considerar combinaciones lineales de caminos con una estructura de coálgebra por desconcatenación da la coálgebra de caminos, que invierte la dirección de la composición algebraica.

Límite

Requiere un grafo dirigido (quiver) como dato de entrada; los quivers infinitos o caminos de longitud infinita plantean cuestiones de cardinalidad y convergencia y suelen exigir hipótesis de finitud adicionales; la construcción difiere del álgebra asociativa libre porque los idempotentes de vértice y las condiciones de composabilidad añaden estructura; imponer relaciones produce cocientes que pueden dejar de tener la base de caminos evidente.

Tensión semántica

El término 'álgebra de quiver' se usa a menudo como sinónimo, pero conviene distinguir la álgebra de caminos de otras álgebras asociadas a un quiver (por ejemplo, álgebras acotadas por relaciones, coálgebras de caminos) y del álgebra libre sobre las aristas sin idempotentes.

Síntesis

Una álgebra de caminos es el álgebra asociativa construida a partir de un grafo dirigido tomando los caminos dirigidos como base y definiendo la multiplicación por concatenación de caminos composables, convirtiendo la composición combinatoria en estructura algebraica que codifica las representaciones del quiver.