L'algèbre associative unitaire libre engendrée par un module ou un espace vectoriel V, construite comme somme directe de toutes les puissances tensorielle T(V)=k ⊕ V ⊕ V⊗V ⊕ V⊗V⊗V ⊕ ···, la multiplication étant la concaténation des tenseurs.

Principe

Fournir le contexte associatif universel dans lequel les expressions multilinéaires en V se multiplient librement ; toute application linéaire de V vers une algèbre associative s'étend de façon unique en un homomorphisme d'algèbres depuis l'algèbre tensorielle.

Démonstration

Pour V espace vectoriel, un élément v1⊗v2⊗···⊗vn de T(V) représente un monôme non commutatif de degré n ; l'algèbre contient des polynômes de tenseurs et admet des quotients surjectifs qui imposent des relations (par ex. algèbres symétriques ou extérieures).

Mauvaise application

Confondre l'algèbre tensorielle avec le produit tensoriel de deux algèbres données, ou présumer la commutativité des facteurs dans T(V) ; une autre erreur est d'identifier les éléments de V à des scalaires plutôt qu'à des tenseurs de degré un, ce qui efface l'information de graduation.

Conséquence

Comme T(V) est initial parmi les algèbres associatives contenant V, il fournit une source canonique pour construire des quotients universels (algèbre symétrique, algèbre extérieure, algèbre de Clifford, algèbre enveloppante universelle) et pour définir des structures algébriques engendrées par V.

Inversion

Au lieu d'adjoindre librement des produits non commutatifs, imposer des co-relations universelles en considérant la coalgèbre co-libre cogénérée par V ; ceci reflète l'inversion de la direction algébrique et mène à des propriétés universelles différentes.

Limite

S'applique aux algèbres associatives unitales librement engendrées par V ; elle n'impose pas la commutativité, les conventions de graduation, les complétions topologiques ou les relations sauf si on quotientte explicitement par un idéal.

Tension sémantique

Proche des termes « algèbre libre » et « produit tensoriel » : l'algèbre tensorielle est l'algèbre associative libre sur V, tandis que le produit tensoriel est un bifoncteur bilinéaire ; les confondre masque les propriétés universelles de mappage et la graduation.

Synthèse

L'algèbre tensorielle est l'algèbre associative universelle librement engendrée par V, construite à partir de toutes les puissances tensorielles par concaténation ; elle constitue l'environnement algébrique brut à partir duquel on forme des quotients imposant des relations.