El álgebra asociativa con unidad libre generada por un módulo o espacio vectorial V, construida como la suma directa de todas las potencias tensoriales T(V)=k ⊕ V ⊕ V⊗V ⊕ V⊗V⊗V ⊕ ··· con multiplicación dada por concatenación de tensores.

Principio

Proveer el contexto asociativo universal en el que las expresiones multilineales en V pueden multiplicarse libremente; toda aplicación lineal de V hacia un álgebra asociativa se extiende de forma única a un homomorfismo de álgebras desde el álgebra tensorial.

Demostración

Para V espacio vectorial, un elemento v1⊗v2⊗···⊗vn en T(V) representa un monomio no conmutativo de grado n; el álgebra contiene polinomios de tensores y proyecta sobre cocientes que imponen relaciones (p. ej., álgebra simétrica o exterior).

Aplicación incorrecta

Confundir el álgebra tensorial con el producto tensorial de dos álgebras dadas, o suponer la conmutatividad de los factores dentro de T(V); otro error es identificar elementos de V con escalares en lugar de tensores de grado uno, lo que destruye la información de graduación.

Consecuencia

Dado que T(V) es inicial entre las álgebras asociativas que contienen V, proporciona una fuente canónica para construir cocientes universales (álgebra simétrica, álgebra exterior, álgebra de Clifford, álgebra envolvente universal) y para definir estructuras algebraicas generadas por V.

Inversión

En lugar de añadir productos no conmutativos libremente, imponer co-relaciones universales considerando la coálgebra co-libres cogenerada por V; esto refleja invertir la dirección algebraica y conduce a propiedades universales distintas.

Límite

Se aplica a álgebras asociativas unitarias libremente generadas por V; no impone conmutatividad, convenciones de graduación, completaciones topológicas ni relaciones a menos que se quotientee explícitamente por un ideal.

Tensión semántica

Se encuentra cercana a los términos 'álgebra libre' y 'producto tensorial': el álgebra tensorial es el álgebra asociativa libre sobre V, mientras que el producto tensorial es un bifunctor bilineal; confundirlos oculta propiedades universales de mapeo y la graduación.

Síntesis

El álgebra tensorial es el entorno algebraico universal y libre generado por V, construido a partir de todas las potencias tensoriales mediante concatenación; es el punto de partida del que se obtienen cocientes que imponen relaciones.