L'algèbre associative formée de tous les endomorphismes d'un objet fixé (typiquement un espace vectoriel ou un module), avec l'addition définie point par point et la multiplication donnée par la composition ; concrètement réalisable comme algèbre de matrices après choix d'une base.

Principe

Regrouper les applications linéaires internes en une structure algébrique où la composition encode l'application successive et l'addition encode la superposition, de sorte que les actions de représentation et de module se décrivent comme modules sur l'algèbre d'endomorphismes.

Démonstration

Pour un espace vectoriel V de dimension finie sur un corps k, End_k(V) est isomorphe à l'algèbre totale des matrices M_n(k) après choix d'une base, et ses éléments agissent sur V par multiplication à gauche de vecteurs-colonnes.

Mauvaise application

Considérer End(V) comme commutative ou supposer que l'addition point par point et la composition commutent au point de permettre une division élément par élément ; une telle erreur néglige la non-commutativité et l'absence d'inverses multiplicatifs pour les endomorphismes non inversibles.

Conséquence

Identifier correctement une algèbre d'endomorphismes permet de classer les décompositions de modules, de décrire les centralisateurs et d'énoncer des dualités (par exemple, le lemme de Schur implique que les anneaux d'endomorphismes de modules simples sont des corps à division).

Inversion

Au lieu de rassembler les applications sur soi avec la composition comme multiplication, on peut considérer le coalèbre des fonctionnelles linéaires avec une comultiplication ; inverser les flèches conduit à étudier des coalgèbres ou des comodulés plutôt que des algèbres d'endomorphismes.

Limite

S'applique aux endomorphismes d'un seul objet fixé ; n'encode pas automatiquement les morphismes entre objets différents (qui forment les ensembles Hom) et exclut toute structure additionnelle non précisée (topologie, graduation, structure * doivent être ajoutées explicitement).

Tension sémantique

Concurrence avec « algèbre de matrices » comme présentation concrète : l'algèbre de matrices est un modèle de End(V) après choix d'une base, mais End(V) met l'accent sur les propriétés fonctorielles et intrinsèques indépendantes de la base.

Synthèse

L'algèbre d'endomorphismes est l'algèbre associative, sans référence à une base, des automorphismes linéaires d'un objet ; sa multiplication non commutative par composition et son addition point par point organisent les symétries internes et les actions de modules, tandis que les réalisations matricielles fournissent un accès computationnel.