El álgebra asociativa formada por todos los endomorfismos de un objeto fijo (típicamente un espacio vectorial o un módulo), con la suma definida punto a punto y la multiplicación dada por la composición; concretamente se realiza como álgebra de matrices tras elegir una base.

Principio

Organizar las autoaplicaciones lineales en una estructura algebraica en la que la composición codifica la aplicación sucesiva y la suma la superposición, de modo que las acciones de representación y de módulo se describen como módulos sobre el álgebra de endomorfismos.

Demostración

Para un espacio vectorial V de dimensión finita sobre un cuerpo k, End_k(V) es isomorfo a la álgebra completa de matrices M_n(k) tras la elección de una base; sus elementos actúan sobre V mediante multiplicación por la izquierda de vectores columna.

Aplicación incorrecta

Tratar End(V) como conmutativa o asumir que la suma punto a punto y la composición conmutan hasta permitir una división elemento a elemento; tal uso indebido ignora la no conmutatividad y la ausencia de inversos multiplicativos para endomorfismos no invertibles.

Consecuencia

La identificación correcta de un álgebra de endomorfismos permite clasificar descomposiciones de módulos, describir centralizadores y formular dualidades (por ejemplo, el lema de Schur implica que los anillos de endomorfismos de módulos simples son anillos divisores).

Inversión

En lugar de reunir autoaplicaciones con la composición como multiplicación, se puede considerar la coálgebra de funcionales lineales con comultiplicación; invertir las flechas conduce al estudio de coálgebras o estructuras de comodulos en lugar de álgebras de endomorfismos.

Límite

Se aplica a los endomorfismos de un único objeto fijo; no codifica automáticamente morfismos entre objetos diferentes (éstos forman conjuntos Hom) y excluye estructuras adicionales salvo que se especifiquen (hay que añadir explícitamente topología, graduación o estructura *).

Tensión semántica

Compite con 'álgebra de matrices' como presentación concreta: el álgebra de matrices es un modelo de End(V) tras elegir una base, pero End(V) enfatiza propiedades intrínsecas y fonctoriales independientes de la base.

Síntesis

El álgebra de endomorfismos es el álgebra asociativa, independiente de la base, de las autofunciones lineales de un objeto; su multiplicación no conmutativa por composición y su suma punto a punto organizan simetrías internas y acciones de módulos, mientras que las realizaciones matriciales facilitan el cálculo.