Une algèbre associative dont les modules (à gauche et à droite) sont complètement réductibles ; dans le cas de dimension finie, équivalente à une algèbre dont le radical de Jacobson est nul, admettant une décomposition en produit direct d'algèbres simples.

Principe

La semisimplicité organise une algèbre par ses composantes simples : les modules se scindent en sommes directes de modules simples et l'algèbre se décompose selon Artin–Wedderburn en cas fini-dimensionnel et semisimple.

Démonstration

Une algèbre semisimple de dimension finie sur un corps se décompose en produit direct d'algèbres de matrices sur anneaux à division, par exemple M_n(F) × M_m(D) dans des cas concrets, assurant la complète réductibilité des modules finis.

Mauvaise application

Confondre semisimple et simple (une algèbre semisimple peut être une somme de blocs simples), ou déduire la semisimplicité de l'absence d'éléments nilpotents sans vérifier le radical ; employer 'semisimple' pour des contextes de dimension infinie sans qualification.

Conséquence

La théorie des représentations se simplifie : tout module fini est somme directe de simples, les dimensions homologiques s'abaissent, et des théorèmes de structure comme Artin–Wedderburn classifient l'algèbre à isomorphisme près.

Inversion

Une algèbre dont le radical de Jacobson est non nul ou dont les modules ne se scindent pas en sommes directes de simples ; ces algèbres présentent des extensions non triviales entre simples et un comportement nilpotent.

Limite

Souvent formulée pour les algèbres associatives de dimension finie ; les algèbres de dimension infinie peuvent être semisimples mais demandent des précautions. Exclut les algèbres avec radical de Jacobson non nul ou sans réductibilité complète des modules.

Tension sémantique

Tension entre 'semisimple' et des notions proches comme 'semiprime' ou 'semiparfait' ou 'simple' ; chacune partage l'idée d'absence de certaines pathologies mais diffère sur le plan module-théorique et idéaux.

Synthèse

Une algèbre semisimple est construite à partir de blocs simples de sorte que les modules se décomposent en sommes de simples et que, en dimension finie, l'algèbre se décompose en produit direct d'algèbres de matrices sur diviseurs.