Un álgebra asociativa cuyos módulos (izquierdo/derecho) son completamente reducibles; en el caso de dimensión finita equivale a un álgebra con radical de Jacobson nulo, admitiendo una descomposición como producto directo finito de álgebras simples.

Principio

La semisimplicidad organiza un álgebra por sus componentes simples: los módulos se separan en sumas directas de módulos simples y el álgebra se descompone según Artin–Wedderburn en dimensión finita y semisimple.

Demostración

Un álgebra semisimple de dimensión finita sobre un cuerpo se descompone como producto directo de álgebras de matrices sobre anillos de división, por ejemplo M_n(F) × M_m(D), garantizando la completa reducibilidad de los módulos finitos.

Aplicación incorrecta

Confundir semisimple con simple (un álgebra semisimple puede ser suma de bloques simples), o asumir semisimplicidad por la ausencia de elementos nilpotentes sin comprobar el radical; usar 'semisimple' sin matizar en contextos de dimensión infinita.

Consecuencia

La teoría de representaciones se simplifica: todo módulo finito es suma directa de simples, las dimensiones homológicas disminuyen y teoremas de estructura como Artin–Wedderburn clasifican el álgebra hasta isomorfismo.

Inversión

Un álgebra con radical de Jacobson no nulo o cuyos módulos no se descomponen en sumas directas de simples; tales álgebras presentan extensiones no triviales entre simples y comportamiento nilpotente.

Límite

A menudo se expresa para álgebras asociativas de dimensión finita; las álgebras de dimensión infinita pueden ser semisimple pero requieren precaución. Excluye álgebras con radical de Jacobson no nulo o sin reducibilidad completa de módulos.

Tensión semántica

Existe tensión entre 'semisimple' y nociones cercanas como 'semiprimo' o 'semiperfecto' o 'simple'; comparten la idea de ausencia de ciertas patologías pero difieren en contenido módulo- y ideal-teórico.

Síntesis

Un álgebra semisimple está formada por bloques simples de modo que los módulos se descomponen en sumas de simples y, en dimensión finita, el álgebra se expresa como producto directo de álgebras de matrices sobre anillos de división.