Une algèbre associative de dimension finie A sur un corps F qui est simple (n'a pas d'idéaux bilatères non triviaux) et dont le centre est exactement F, c'est-à-dire Z(A)=F.

Principe

La centralité et la simplicité contraignent A à être, à isomorphisme près, une algèbre de matrices sur une algèbre à division dont le centre est F ; cette combinaison contrôle à la fois la structure des idéaux internes et la commutation avec les scalaires.

Démonstration

Toute algèbre de la forme M_n(D), où D est une algèbre à division de dimension finie et de centre F, est une algèbre simple centrale sur F ; sur un corps algébriquement clos, toute algèbre simple centrale est isomorphe à M_n(F).

Mauvaise application

Qualifier d'« algèbre simple centrale » une algèbre dont le centre contient strictement le corps de base ou qui possède des idéaux bilatères non nuls, ou confondre 'centrale' et 'simple' pris séparément.

Conséquence

Les algèbres simples centrales s'organisent en éléments du groupe de Brauer de F ; leurs dimensions sont des carrés parfaits et leurs catégories de modules sont bien comprises via la théorie de Morita.

Inversion

Une algèbre simple mais non centrale (centre plus grand que le corps de base) ou centrale mais non simple (possédant des idéaux bilatères propres) s'oppose à la condition d'algèbre simple centrale.

Limite

Exige la finitude de la dimension et l'associativité sur un corps fixé ; exclut les algèbres de dimension infinie, les algèbres non associatives et les algèbres dont le centre est une extension propre du corps de base.

Tension sémantique

Tension entre 'simple' et 'simple centrale', et entre algèbres de matrices sur le corps de base et algèbres de matrices sur des algèbres à division non triviales ; ces distinctions sont cruciales pour la classification et en théorie de Brauer.

Synthèse

Une algèbre simple centrale est une algèbre associative de dimension finie sur F, à la fois simple et de centre F, d'où elle s'identifie, à isomorphisme près, à une algèbre de matrices sur une algèbre à division centrale.