Un álgebra asociativa de dimensión finita A sobre un cuerpo F que es simple (no tiene ideales bilaterales no triviales) y cuyo centro coincide con F, es decir Z(A)=F.

Principio

Centralidad y simplicidad juntas obligan a que A sea, a isomorfismo próximo, un álgebra de matrices sobre un álgebra de división central sobre F; esta combinación controla la estructura de ideales y la conmutación con escalares.

Demostración

Cualquier álgebra de la forma M_n(D), donde D es un álgebra de división de dimensión finita con centro F, es una álgebra simple central sobre F; sobre un cuerpo algebraicamente cerrado toda álgebra simple central es isomorfa a M_n(F).

Aplicación incorrecta

Llamar 'simple central' a un álgebra cuyo centro contiene estrictamente el cuerpo de base o que tenga ideales bilaterales no nulos, o confundir 'central' con 'simple' de manera aislada.

Consecuencia

Las álgebras simples centrales se clasifican como elementos del grupo de Brauer de F; sus dimensiones son cuadrados perfectos y sus categorías de módulos se entienden bien mediante la teoría de Morita.

Inversión

Un álgebra que sea simple pero no central (centro mayor que el cuerpo base), o central pero no simple (poseyendo ideales bilaterales propios), contrasta con la condición de simple central.

Límite

Requiere dimensionalidad finita y asociatividad sobre un cuerpo especificado; excluye álgebras de dimensión infinita, no asociativas y álgebras cuyo centro sea una extensión propia del cuerpo base.

Tensión semántica

Existe tensión entre 'simple' y 'simple central' y entre álgebras de matrices sobre el cuerpo base y sobre álgebras de división no triviales; estas distinciones son cruciales en la clasificación y en teoría de Brauer.

Síntesis

Una álgebra simple central es un álgebra asociativa de dimensión finita sobre F que es simple y tiene centro F, por lo que, a isomorfismo cercano, es un álgebra de matrices sobre una álgebra de división central.