Une algèbre A munie d'une suite croissante de sous-espaces ... = F_{-1} ⊆ F_0 ⊆ F_1 ⊆ ... dont l'union est A et telle que la multiplication vérifie F_i · F_j ⊆ F_{i+j} ; la filtration classe les éléments par complexité plutôt que par degré exact.

Principe

Une filtration compatible enregistre une hiérarchie de « taille » ou d'« ordre » de sorte que les produits augmentent la complexité de manière prévisible ; l'algèbre graduée associée gr_F(A) = ⊕ F_i / F_{i-1} relie les techniques filtrées et graduées.

Démonstration

L'algèbre enveloppante U(g) d'une algèbre de Lie g est filtrée par le degré tensoriel : les sommes finies de produits de ≤ n éléments de Lie appartiennent à F_n, et la construction de Poincaré–Birkhoff–Witt identifie gr_F(U(g)) à l'algèbre symétrique de g.

Mauvaise application

Traiter une filtration comme une graduation en somme directe, ou ignorer les questions de complétion lorsqu'on manipule des filtrations décroissantes infinies, conduit à des conclusions incorrectes ; supposer que l'associé gradué est égal à l'original est risqué.

Conséquence

Les filtrations permettent l'usage de suites spectrales, définissent des complétions et des topologies (complétions adiques), et autorisent souvent le passage à l'associé gradué pour calculer des invariants ou démontrer des théorèmes de structure.

Inversion

Le concept inverse est une algèbre strictement graduée avec une décomposition en somme directe exacte ; certains résultats sont plus simples dans le cadre gradué mais doivent être récupérés pour les algèbres filtrées via l'associé gradué.

Limite

Exige une chaîne croissante (ou exhaustive) de sous-espaces compatible avec la multiplication dont l'union est l'algèbre entière ; exclut les décompositions non emboîtées, les filtrations non respectées par la multiplication et les chaînes non exhaustives.

Tension sémantique

Il existe une tension entre filtration et graduation : les filtrations sont plus flexibles et apparaissent naturellement, mais de nombreux résultats algébriques sont plus faciles dans le cas gradué et demandent un travail supplémentaire pour être relevés à l'objet filtré.

Synthèse

Une algèbre filtrée est une algèbre dotée d'une famille emboîtée de sous-espaces compatible avec la multiplication ; en passant à l'associé gradué et en considérant les complétions, on concilie les avantages de calcul des méthodes graduées avec la souplesse des filtrations.