Un álgebra A provista de una sucesión creciente de subespacios ... = F_{-1} ⊆ F_0 ⊆ F_1 ⊆ ... cuya unión es A y tal que la multiplicación satisface F_i · F_j ⊆ F_{i+j}; la filtración organiza elementos por complejidad más que por grado exacto.

Principio

Una filtración compatible registra una jerarquía de 'tamaño' u 'orden' de modo que los productos elevan la complejidad de forma predecible; el álgebra graduada asociada gr_F(A) = ⊕ F_i / F_{i-1} conecta técnicas filtradas y graduadas.

Demostración

El álgebra envolvente universal U(g) de una álgebra de Lie g está filtrada por el grado tensorial: sumas finitas de productos de ≤ n elementos de Lie están en F_n, y la construcción de Poincaré–Birkhoff–Witt identifica gr_F(U(g)) con el álgebra simétrica de g.

Aplicación incorrecta

Tratar una filtración como si fuera una graduación en suma directa, o ignorar problemas de completitud al trabajar con filtraciones decrecientes infinitas, puede conducir a conclusiones inválidas; asumir que el graduado asociado es igual al original es inseguro.

Consecuencia

Las filtraciones permiten el uso de series espectrales, definen completaciones y topologías (completaciones adicas) y con frecuencia permiten pasar al graduado asociado para calcular invariantes o demostrar teoremas de estructura.

Inversión

El concepto inverso es un álgebra estrictamente graduada con una descomposición en suma directa exacta; algunos resultados se simplifican en el contexto graduado pero deben recuperarse para álgebras filtradas mediante el graduado asociado.

Límite

Requiere una cadena creciente (o exhaustiva) de subespacios compatible con la multiplicación cuya unión sea la totalidad del álgebra; excluye descomposiciones no anidadas, filtraciones no respetadas por la multiplicación y cadenas no exhaustivas.

Tensión semántica

Existe tensión entre filtración y graduación: las filtraciones son más flexibles y aparecen de forma natural, pero muchos resultados algebraicos son más fáciles en el caso graduado y requieren trabajo adicional para elevarse del graduado asociado al objeto filtrado.

Síntesis

Un álgebra filtrada es un álgebra equipada con una familia anidada de subespacios compatibles con la multiplicación; al pasar al graduado asociado y considerar completaciones, se conectan las ventajas computacionales de los métodos graduados con la flexibilidad de las filtraciones.