Un espace vectoriel rationnel de dimension finie V muni d'une filtration croissante par les poids W_• sur V_Q et d'une filtration décroissante de Hodge F^• sur V_C telle que chaque gradué Gr^W_n porte une structure de Hodge pure de poids n ; fréquent sur la cohomologie de variétés algébriques complexes singulières ou non compactes.

Principe

Deux filtrations compatibles codent l'origine géométrique mixte : la filtration par les poids mesure la complexité algébrique (singularités, non-compacité) tandis que la filtration de Hodge enregistre la décomposition complex-analytique ; la fonctorialité et l'exactitude régissent les morphismes.

Démonstration

La structure de Hodge mixte de Deligne sur H^i(X,Q) pour une variété algébrique complexe X : pour une courbe lisse ouverte, la filtration par les poids reflète les contributions de la compactification et des pointes alors que la filtration de Hodge donne la décomposition H^{p,q} sur les gradués.

Mauvaise application

Supposer que la structure de Hodge mixte se scinde canoniquement en pièces pures ou confondre les filtrations par les poids et de Hodge ; négliger que les extensions entre pièces pures codent une géométrie essentielle.

Conséquence

Les structures de Hodge mixtes fournissent des invariants raffinés (nombres de Hodge mixtes, filtrations par les poids), contrôlent la dégénérescence de suites spectrales et permettent la comparaison des invariants algébriques et analytiques ainsi que la construction de régulateurs.

Inversion

Une structure de Hodge pure est le cas particulier où la filtration par les poids est concentrée en un degré unique, donnant la décomposition classique H^{p,q} sans extensions non triviales entre poids.

Limite

S'applique à la cohomologie rationnelle (ou entière) de dimension finie de variétés algébriques, aux complexes d'origine algébrique ou aux modules de Hodge mixtes ; ce n'est pas un invariant topologique général pour des espaces arbitraires sans structure algébrique.

Tension sémantique

Structure de Hodge mixte versus motif mixte : les deux portent des graduations par les poids et des données d'extensions, mais les MHS sont des objets linéaires-concrets attachés à la cohomologie tandis que les motifs visent une source universelle ; confusion aussi entre poids et nombres de Hodge.

Synthèse

Une structure de Hodge mixte est une paire de filtrations compatibles sur un espace vectoriel rationnel dont les gradués sont des structures de Hodge pures ; elle encode comment singularités algébriques et non-compacité affectent la cohomologie en enregistrant à la fois poids et décomposition complexe.