Un espacio vectorial racional de dimensión finita V provisto de una filtración creciente por peso W_• sobre V_Q y una filtración decreciente de Hodge F^• sobre V_C tal que cada pieza graduada Gr^W_n posee una estructura de Hodge pura de peso n; habitual en la cohomología de variedades algebraicas complejas singulares o no compactas.

Principio

Dos filtraciones compatibles codifican el origen geométrico mixto: la filtración por peso mide la complejidad algebraica (singularidades, no compacidad) mientras la filtración de Hodge registra la descomposición complex-analítica; la fonctorialidad y propiedades de exactitud gobiernan los morfismos.

Demostración

La estructura de Hodge mixta de Deligne en H^i(X,Q) para una variedad algebraica compleja X: en una curva lisa abierta, la filtración por peso refleja las contribuciones de la compactificación y los puntos eliminados, mientras la filtración de Hodge da la descomposición H^{p,q} en las piezas graduadas.

Aplicación incorrecta

Suponer que la estructura de Hodge mixta se descompone canónicamente en piezas puras o tratar las filtraciones de peso y de Hodge como intercambiables; ignorar que las extensiones entre piezas puras pueden contener geometría esencial.

Consecuencia

Las estructuras de Hodge mixtas aportan invariantes refinados (números de Hodge mixtos, filtraciones por peso), controlan la degeneración de series espectrales y permiten comparar invariantes algebraicos y analíticos y construir mapas reguladores.

Inversión

Una estructura de Hodge pura es el caso especial en que la filtración por peso está concentrada en un único grado, produciendo la descomposición clásica H^{p,q} sin extensiones no triviales entre pesos.

Límite

Se aplica a la cohomología racional (o entera) de dimensión finita de variedades algebraicas, a complejos de origen algebraico o a módulos de Hodge mixtos; no es un invariante topológico general para espacios arbitrarios sin estructura algebraica.

Tensión semántica

Estructura de Hodge mixta frente a motivo mixto: ambos llevan graduaciones por peso y datos de extensiones, pero las MHS son objetos lineales concretos ligados a la cohomología, mientras los motivos pretenden ser una fuente universal; también se confunden pesos con números de Hodge.

Síntesis

Una estructura de Hodge mixta es un par de filtraciones compatibles en un espacio vectorial racional cuyas piezas graduadas son estructuras de Hodge puras; empaqueta cómo las singularidades y la no compacidad afectan la cohomología registrando a la vez peso y descomposición compleja.