Résultat fondamental affirmant une isomorphie entre la cohomologie du complexe des formes différentielles lisses sur une variété lisse (cohomologie de De Rham) et la cohomologie singulière (ou la cohomologie de faisceaux) à coefficients réels ; l'isomorphisme respecte des structures algébriques comme le produit cup.

Principe

L'intégration des formes différentielles sur des chaînes singulières (ou l'application du complexe de De Rham vers une résolution du faisceau constant) fournit un morphisme de complexes induisant une isomorphie en cohomologie : les formes fermées représentent des classes topologiques et les formes exactes deviennent des bord.

Démonstration

Sur le cercle S1, la 1-forme dθ est fermée mais non exacte, produisant une cohomologie de De Rham H1 de dimension 1 ; cette classe correspond à H1(S1; R) ≅ R, illustrant concrètement l'isomorphie.

Mauvaise application

Appliquer le théorème sans précautions à des espaces non lisses, à des variétés algébriques singulières sans recourir à la théorie algébrique de De Rham, ou prétendre obtenir une isomorphie pour des coefficients entiers ; ignorer les hypothèses de finitude ou d'orientabilité nécessaires conduit à des erreurs.

Conséquence

Les invariants topologiques des variétés lisses peuvent être calculés et étudiés au moyen de formes différentielles et de méthodes analytiques ; le théorème est un fondement de la théorie de Hodge et relie analyse, géométrie et topologie.

Inversion

Inversement, la cohomologie singulière donne une construction purement topologique dont la structure algébrique est réalisée analytiquement par les formes différentielles ; l'inversion met en lumière deux points de vue équivalents — analytique versus combinatoire/topologique.

Limite

S'applique aux variétés lisses (ou variétés lisses à bord, avec versions relatives appropriées) et, plus généralement, aux variétés lisses paracompactes ou de type fini ; il ne vaut pas tel quel pour des espaces topologiques arbitraires ni pour des coefficients entiers sans données supplémentaires.

Tension sémantique

La tension provient de la nature différentiable et analytique de la cohomologie de De Rham par rapport aux versions algébriques ou étales (De Rham algébrique, cohomologie étale) : des énoncés analogues existent mais nécessitent des hypothèses et des corps de coefficients différents.

Synthèse

Le Théorème De Rham identifie la cohomologie analytique des formes différentielles à la cohomologie topologique pour les espaces lisses, permettant de calculer des invariants topologiques par le calcul différentiel et ouvrant la voie à des liens profonds comme la théorie de Hodge.