Resultado fundamental que establece una isomorfía entre la cohomología del complejo de formas diferenciales suaves en una variedad suave (cohomología de De Rham) y la cohomología singular (o de haces) con coeficientes reales; la isomorfía respeta estructuras algebraicas como el producto cup.

Principio

La integración de formas diferenciales sobre cadenas singulares (o el morfismo del complejo de De Rham hacia una resolución del haz constante) define un morfismo de complejos que induce una isomorfía en cohomología: las formas cerradas representan clases topológicas y las exactas se convierten en bordes.

Demostración

En el círculo S1, la 1-forma dθ es cerrada pero no exacta, produciendo una H1 de De Rham de dimensión uno; la clase de De Rham corresponde a H1(S1; R) ≅ R, mostrando la isomorfía de forma concreta.

Aplicación incorrecta

Aplicar el teorema indiscriminadamente a espacios no suaves, a variedades algebraicas singulares sin pasar por la teoría algebraica de De Rham, o esperar la isomorfía con coeficientes enteros; también erróneo es omitir hipótesis de finitud u orientabilidad cuando son relevantes.

Consecuencia

Los invariantes topológicos de variedades suaves pueden calcularse y estudiarse mediante formas diferenciales y métodos analíticos; el teorema fundamenta la teoría de Hodge y conecta análisis, geometría y topología.

Inversión

Desde la perspectiva inversa, la cohomología singular proporciona una construcción puramente topológica cuya estructura algebraica se realiza analíticamente mediante formas diferenciales; la inversión pone de relieve dos puntos de vista equivalentes —analítico frente a combinatorio/topológico.

Límite

Se aplica a variedades suaves (o variedades suaves con borde, con versiones relativas apropiadas) y más generalmente a variedades suaves paracompactas o de tipo finito; no vale tal cual para espacios topológicos arbitrarios ni para coeficientes enteros sin estructura adicional.

Tensión semántica

La tensión surge entre la naturaleza diferencial-analítica de la cohomología de De Rham y las versiones algebraicas o étales (De Rham algebraico, cohomología étale): existen afirmaciones análogas pero requieren hipótesis y campos de coeficientes distintos.

Síntesis

El Teorema De Rham identifica la cohomología analítica de las formas diferenciales con la cohomología topológica para espacios suaves, permitiendo calcular invariantes topológicos mediante cálculo diferencial y conectando con teorías como la de Hodge.