Un raffinement de l'homologie de Hochschild qui prend en compte la symétrie cyclique pour détecter des phénomènes de périodicité et relier à des invariants de type de Rham ; l'homologie cyclique HC_* se construit à partir des chaînes de Hochschild en formant un complexe mixte ou un quotient par l'action cyclique.

Principe

Incorporer l'action du groupe cyclique sur les puissances tensorielles ou utiliser l'opérateur B de Connes pour assembler un complexe mixte (b,B) dont l'homologie cyclique capture la périodicité, les invariants de type trace et les relations avec les formes différentielles et les formules d'indice.

Démonstration

Pour une algèbre commutative lisse de fonctions sur une variété, l'homologie cyclique retrouve la cohomologie de de Rham après complétion ou périodisation appropriée ; concrètement, le complexe mixte (C_*(A),b,B) calcule HC_* et se relie aux formes différentielles via l'application de Hochschild–Kostant–Rosenberg.

Mauvaise application

Oublier d'inclure l'opérateur B ou l'action du groupe cyclique en passant de Hochschild à cyclique, perdant ainsi l'information de périodicité et le lien avec les invariants de type de Rham.

Conséquence

L'homologie cyclique fournit des invariants sensibles aux traces et à la périodicité, sert de cible pour les caractères de Chern provenant de la K-théorie et fait le pont entre géométrie non commutative et formes différentielles dans des cadres algébriques et topologiques.

Inversion

Retirer la structure cyclique ramène à l'homologie de Hochschild, qui conserve les données locales tensorielles de trace mais omet les raffinements périodiques ou de type de Rham que la théorie cyclique rétablit.

Limite

S'applique aux algèbres associatives, aux algèbres dg et aux algèbres topologiques en tenant compte des complétions et des opérateurs de périodicité ; l'usage naïf sans complétions, périodisation ou traitement des produits tensoriels topologiques peut manquer des invariants essentiels.

Tension sémantique

Tension entre l'homologie cyclique comme invariant analytique/de Rham et comme foncteur dérivé algébrique : les constructions privilégient soit les complétions topologiques et la périodicité, soit les complexes mixtes purement algébriques, ce qui affecte l'applicabilité et l'interprétation.

Synthèse

L'homologie cyclique est le raffinement cyclique de l'homologie de Hochschild, obtenu en ajoutant l'opérateur de Connes ou en quotientant par l'action cyclique ; elle détecte périodicité et invariants de type de Rham et fait le lien entre traces algébriques, formes géométriques et caractères de Chern en K-théorie.