Un refinamiento de la homología de Hochschild que tiene en cuenta la simetría cíclica para detectar fenómenos de periodicidad y vincularse a invariantes de tipo de Rham; la homología cíclica HC_* se construye a partir de las cadenas de Hochschild formando un complejo mixto o un cociente por la acción cíclica.

Principio

Incorporar la acción del grupo cíclico en potencias tensoriales o usar el operador B de Connes para ensamblar un complejo mixto (b,B) cuya homología cíclica captura periodicidad, invariantes tipo traza y relaciones con formas diferenciales y fórmulas de índice.

Demostración

Para un álgebra conmutativa suave de funciones sobre una variedad, la homología cíclica recupera la cohomología de de Rham tras la completación o periodicación apropiada; concretamente, el complejo mixto (C_*(A),b,B) calcula HC_* y se relaciona con formas diferenciales vía la aplicación Hochschild–Kostant–Rosenberg.

Aplicación incorrecta

Olvidar incluir el operador B o la acción del grupo cíclico al pasar de Hochschild a cíclica, perdiendo así la información de periodicidad y el vínculo con invariantes de tipo de Rham.

Consecuencia

La homología cíclica proporciona invariantes sensibles a trazas y periodicidad, es un objetivo para los caracteres de Chern procedentes de la K-teoría y conecta la geometría no conmutativa con las formas diferenciales en contextos algebraicos y topológicos.

Inversión

Eliminar la estructura cíclica conduce a la homología de Hochschild, que conserva datos tensoria­les locales de traza pero omite los refinamientos periódicos o de tipo de Rham que restituye la teoría cíclica.

Límite

Se aplica a álgebras asociativas, álgebras dg y álgebras topológicas con atención a completaciones y operadores de periodicidad; el uso ingenuo sin completaciones, periodicación o manejo de productos tensoriales topológicos puede perder invariantes esenciales.

Tensión semántica

Tensión entre la homología cíclica como invariante analítico/de Rham y como fonctor derivado algebraico: las construcciones enfatizan bien las completaciones topológicas y la periodicidad, bien los complejos mixtos puramente algebraicos, lo que afecta la aplicabilidad e interpretación.

Síntesis

La homología cíclica es el refinamiento cíclico de la homología de Hochschild obtenido añadiendo el operador de Connes o quotientando por la acción cíclica; detecta periodicidad e invariantes de tipo de Rham y conecta trazas algebraicas con formas geométricas y caracteres de Chern de la K-teoría.