Une équivalence entre catégories dérivées (typiquement catégories dérivées bornées ou non bornées de cadres abéliens ou différentiés gradués) identifiant objets et morphismes à quasi-isomorphisme près et préservant la structure triangulée, associant ainsi le comportement homologique entre contextes différents.

Principe

L'équivalence dérivée affirme que deux contextes partagent la même information dérivée (homologique) : complexes, cohomologie et triangles distingués correspondent via une équivalence exacte de catégories triangulées (souvent induite par un objet ou complexe de basculement).

Démonstration

Exemple : deux algèbres A et B sont équivalentes dérivées lorsqu'il existe un complexe de basculement T sur A dont l'algèbre des endomorphismes est quasi-isomorphe à B, induisant une équivalence D^b(A-mod) ≅ D^b(B-mod) qui préserve les groupes Ext et les invariants dérivés.

Mauvaise application

Confondre équivalence dérivée et équivalence de Morita des catégories de modules (plus forte) ou supposer qu'une équivalence de catégories abéliennes implique une équivalence dérivée sans vérifier le comportement au niveau dérivé ; négliger les structures dg ou les améliorations nécessaires pour une équivalence bien définie.

Conséquence

L'équivalence dérivée préserve un large éventail d'invariants homologiques (algèbres Ext, cohomologie de Hochschild jusqu'à transformations subtiles, nombreux invariants numériques) et permet de transférer les théories de déformation et d'obstruction entre les contextes.

Inversion

La réversion oppose l'équivalence dérivée à la simple similitude des groupes de cohomologie : l'égalité des groupes de cohomologie en degrés donnés ne suffit pas à garantir une équivalence dérivée si les structures d'extensions et triangulées diffèrent.

Limite

L'équivalence dérivée concerne les catégories dérivées (triangulées ou améliorées) et demande le contrôle des quasi-isomorphismes et des améliorations ; elle exclut les coïncidences au niveau abélien brut et peut échouer si les structures dg ou ∞-améliorations divergent.

Tension sémantique

L'équivalence dérivée entre en tension avec l'équivalence de Morita et avec des invariants plus simples : l'équivalence de Morita implique l'équivalence des catégories de modules mais pas nécessairement l'équivalence dérivée dans le même sens, tandis que l'équivalence dérivée est plus faible que l'isomorphisme d'algèbres mais plus forte que la simple égalité des groupes de cohomologie.

Synthèse

Une équivalence dérivée identifie deux contextes au niveau homologique : une équivalence exacte de catégories dérivées aligne complexes, triangles et structures Ext de sorte que les calculs homologiques et les phénomènes de déformation correspondent entre les deux contextes.