Eine Äquivalenz zwischen abgeleiteten Kategorien (typischerweise beschränkten oder unbeschränkten abgeleiteten Kategorien abelscher oder differenziell graduierter Kontexte), die Objekte und Morphismen bis auf Quasi-Isomorphie identifiziert und die triangulierte Struktur bewahrt, sodass das homologische Verhalten verschiedener Kontexte übereinstimmt.

Prinzip

Abgeleitete Äquivalenz behauptet, dass zwei Kontexte dieselben abgeleiteten (homologischen) Informationen teilen: Komplexe, Kohomologie und distinguierte Dreiecke entsprechen unter einer exakten Äquivalenz triangulierter Kategorien (oft induziert durch ein Kippkomplex oder -objekt).

Demonstration

Beispiel: Zwei Algebren A und B sind abgeleitet äquivalent, wenn es einen Kippkomplex T über A gibt, dessen Endomorphenalgebra quasi-isomorph zu B ist und der eine Äquivalenz D^b(A-mod) ≅ D^b(B-mod) induziert, welche Ext-Gruppen und abgeleitete Invarianten erhält.

Fehlanwendung

Abgeleitete Äquivalenz mit Morita-Äquivalenz der Modulniveaus verwechseln (die stärker ist) oder annehmen, dass eine Äquivalenz abelscher Kategorien automatisch eine abgeleitete Äquivalenz liefert, ohne das Verhalten auf der abgeleiteten Ebene zu prüfen; notwendige dg- oder Enhancements ignorieren.

Konsequenz

Abgeleitete Äquivalenz erhält eine große Klasse homologischer Invarianten (Ext-Algebren, Hochschild-Kohomologie bis auf subtile Transformationen, viele numerische Invarianten) und ermöglicht das Übertragen von Deformations- und Obstruktions-Theorien zwischen den Kontexten.

Umkehrung

Die Umkehrung kontrastiert abgeleitete Äquivalenz mit bloßer Übereinstimmung einzelner Kohomologiegruppen: Die Übereinstimmung von Kohomologiegruppen in Graden reicht nicht aus, wenn die Erweiterungs- und triangulierten Strukturen auseinanderlaufen.

Abgrenzung

Abgeleitete Äquivalenz ist eine Aussage über abgeleitete (triangulierte oder verbesserte) Kategorien und erfordert Kontrolle über Quasi-Isomorphismen und Enhancements; sie schließt rohe Übereinstimmungen auf abelscher Ebene aus und kann scheitern, wenn dg-Strukturen oder ∞-Enhancements unterschiedlich sind.

Semantische Spannung

Abgeleitete Äquivalenz steht zwischen Morita-Äquivalenz und einfacheren Invarianten: Morita-Äquivalenz impliziert Äquivalenz von Modulniveaus, aber nicht notwendigerweise abgeleitete Äquivalenz in gleichem Sinne; abgeleitete Äquivalenz ist schwächer als Algebra-Isomorphismus, aber stärker als bloße Kohomologieübereinstimmung.

Synthese

Eine abgeleitete Äquivalenz identifiziert zwei mathematische Kontexte auf homologischem Niveau: eine exakte Äquivalenz der abgeleiteten Kategorien stimmt Komplexe, Dreiecke und Ext-Strukturen so ab, dass homologische Rechnungen und Deformationsphänomene zwischen den Kontexten korrespondieren.