Une équivalence (ou correspondance) entre catégories de D-modules réguliers holonomes (ou de connexions méromorphes à singularités régulières) sur une variété analytique complexe et catégories de faisceaux constructibles ou de systèmes locaux (représentations du groupe fondamental) sur l’espace topologique sous-jacent ; elle met en correspondance équations différentielles algébriques et leurs données analytiques de monodromie.

Principe

Les foncteurs de de Rham/solutions relient données algébriques (D-modules, opérateurs différentiels, connexions) et données topologiques (faisceau des solutions, monodromie) ; la régularité et l’holonomie garantissent la finitude dimensionnelle et la constructibilité, de sorte que ces foncteurs deviennent des équivalences après décalages pervers appropriés ou modifications de la t-structure.

Démonstration

Exemple : une équation différentielle linéaire ordinaire sur la droite complexe avec points singuliers réguliers définit un D-module régulier holonome dont le faisceau de solutions locales est un système local sur la droite privées des singularités ; la correspondance de Riemann–Hilbert identifie la connexion algébrique à la représentation de monodromie de ce système local.

Mauvaise application

Tenter d’appliquer la correspondance aux singularités irrégulières sans intégrer les données de Stokes et les facteurs exponentiels, ou ignorer l’holonomie ce qui peut engendrer des espaces de solutions de dimension infinie et la perte de constructibilité.

Conséquence

Fournit un dictionnaire entre équations différentielles linéaires et invariants topologiques/représentationnels (monodromie, phénomènes de Stokes dans le cas irrégulier), permettant de classer, calculer les espaces de solutions et transporter des opérations entre contextes algébriques et topologiques.

Inversion

La direction inverse construit un D-module ou une connexion à partir d’un faisceau constructible ou d’un système local donné (Betti vers de Rham) ; dans les situations irrégulières l’inverse exige une structure supplémentaire de Stokes/niveaux et n’est plus contrôlé par la correspondance classique sans enrichir les catégories.

Limite

Exige holonomie et singularités régulières pour la correspondance classique ; pour les singularités irrégulières il faut élargir la cible pour inclure les structures de Stokes et facteurs exponentiels ; la correspondance est de nature analytique (complexe‑analytique) et ne vaut pas naïvement dans des contextes algébriques ou p‑adiques arbitraires sans modification.

Tension sémantique

Se rapporte au problème de Riemann–Hilbert de prescription de la monodromie pour des systèmes fuchsiens et diffère des théorèmes de classification purement topologiques ; la tension survient entre méthodes de connexions algébriques et continuation analytique/phénomènes de Stokes en cas irrégulier.

Synthèse

La correspondance de Riemann–Hilbert identifie systèmes différentiels linéaires et leurs données de monodromie topologique en mettant en équivalence D-modules réguliers holonomes (ou connexions) et systèmes locaux constructibles, établissant un pont traduisant équations différentielles analytiques en invariants représentations-théoriques et faisceautiques.