Una equivalencia (o correspondencia) entre categorías de D‑módulos holónomos regulares (o conexiones meromorfas con singularidades regulares) en una variedad analítica compleja y categorías de haces constructibles o sistemas locales (representaciones del grupo fundamental) en el espacio topológico subyacente; conecta ecuaciones diferenciales algebraicas con sus datos analíticos de monodromía.

Principio

Los funtores de de Rham/solución relacionan datos algebraicos (D‑módulos, operadores diferenciales, conexiones) con datos topológicos (haz de soluciones, monodromía); la regularidad y la holonomicidad aseguran finitud dimensional y constructibilidad de modo que estos funtores son equivalencias tras adecuados desplazamientos perversos o t‑estructuras.

Demostración

Ejemplo: una ecuación diferencial lineal ordinaria en la recta compleja con puntos singulares regulares define un D‑módulo holónomo regular cuyo haz de soluciones locales es un sistema local en la recta punteada; la correspondencia de Riemann–Hilbert equipara la conexión algebraica con la representación de monodromía de ese sistema local.

Aplicación incorrecta

Intentar aplicar la correspondencia a singularidades irregulares sin incorporar datos de Stokes y factores exponenciales, o ignorar la holonomicidad, lo que puede conducir a espacios de soluciones de dimensión infinita y pérdida de constructibilidad.

Consecuencia

Proporciona un diccionario entre sistemas diferenciales lineales y invariantes topológicos/representacionales (monodromía, fenómenos de Stokes en el caso irregular), permitiendo la clasificación, el cálculo de espacios de soluciones y el transporte de operaciones entre marcos algebraicos y topológicos.

Inversión

La dirección inversa construye un D‑módulo o conexión a partir de un haz constructible o sistema local dado (Betti → de Rham); en situaciones irregulares la inversión exige estructuras adicionales de Stokes/niveles y deja de estar controlada por la correspondencia clásica sin enriquecer las categorías.

Límite

Requiere holonomicidad y singularidades regulares para la correspondencia clásica; para singularidades irregulares hay que ampliar el objetivo para incluir estructuras de Stokes y factores exponenciales; la correspondencia es de naturaleza analítica (compleja) y no se cumple de forma ingenua en contextos algebraicos o p‑ádicos arbitrarios sin modificación.

Tensión semántica

Se relaciona con, pero difiere del problema de Riemann–Hilbert de prescribir la monodromía para sistemas fuchsianos y con teoremas de clasificación puramente topológica; la tensión surge entre métodos de conexiones algebraicas y la continuación analítica/fenómenos de Stokes en casos irregulares.

Síntesis

La correspondencia de Riemann–Hilbert identifica sistemas diferenciales lineales con sus datos topológicos de monodromía al poner en equivalencia D‑módulos holónomos regulares (o conexiones) y sistemas locales constructibles, ofreciendo un puente que traduce ecuaciones diferenciales analíticas en invariantes representacionales y faisceau‑teóricos.