Une intersection au sens schématique de sous-schémas qui porte des éléments nilpotents ou des composantes incorporées au-delà de l’intersection au sens des ensembles ; l’intersection en tant qu’objet dans la catégorie des schémas (ou des anneaux) n’est pas réduite.

Principe

Les opérations schématiques conservent la structure algébrique (multiplicités, éléments nilpotents, composantes incorporées) que le lieu comme ensemble omet ; il faut calculer l’intersection dans le faisceau structural du schéma ambiant et non seulement sur les fermés sous-jacents.

Démonstration

Deux courbes planes définies par f et g peuvent se rencontrer avec multiplicité : par exemple, dans Spec k[x,y], l’idéal (f,g) peut définir un anneau local contenant des éléments nilpotents ou une composante incorporée, comme dans l’intersection d’une droite double donnée par (x^2) avec la droite (x), produisant une structure nilpotente en x=0.

Mauvaise application

Remplacer l’intersection schématique par l’intersection ensembliste et ignorer les pièces nilpotentes ou incorporées lors du calcul des multiplicités d’intersection, conduisant à des comptages de multiplicités erronés ou à l’omission de classes d’obstruction.

Conséquence

La reconnaissance correcte d’une intersection non réduite enregistre les multiplicités et les composantes incorporées nécessaires pour la théorie des intersections, les calculs de déformation et pour détecter l’excès d’intersection ou la non-transversalité.

Inversion

L’inverse est l’intersection réduite (ou ensembliste), où l’on passe au sous-schéma induit réduit sur l’ensemble fermé commun, en éliminant ainsi les nilpotents et la structure incorporée.

Limite

S’applique aux intersections en géométrie algébrique et en algèbre commutative : schémas, sous-schémas et idéaux ; n’apparaît pas pour des intersections purement ensemblistes d’espaces topologiques ni lorsque l’on travaille seulement avec des schémas réduits.

Tension sémantique

Tension entre l’intersection ensembliste (points comme lieu) et l’intersection schématique (structure algébrique avec multiplicités et nilpotents) ; tension aussi entre intersection propre et excès d’intersection.

Synthèse

L’intersection non réduite est l’intersection schématique qui encode les multiplicités algébriques et les composantes incorporées absentes de l’ensemble sous-jacent : elle est indispensable quand les multiplicités d’intersection, les obstructions ou les phénomènes non transverses influencent des conclusions géométriques ou de déformation.