Una intersección en sentido esquemático de subesquemas que porta elementos nilpotentes o componentes embebidas más allá de la intersección como conjunto subyacente; la intersección como objeto en la categoría de esquemas (o anillos) no es reducida.

Principio

Las operaciones esquemáticas conservan la estructura algebraica (multiplicidades, nilpotentes, componentes embebidas) que el lugar como conjunto omite; las intersecciones deben calcularse en el haces de estructura del esquema ambiente y no solo sobre los conjuntos cerrados subyacentes.

Demostración

Dos curvas en el plano definidas por f y g pueden encontrarse con multiplicidad: por ejemplo, en Spec k[x,y] el ideal (f,g) puede definir un anillo local con nilpotentes o una componente embebida, como en la intersección de una recta doble dada por (x^2) con la recta (x), produciendo estructura nilpotente en x=0.

Aplicación incorrecta

Sustituir la intersección esquemática por la intersección como conjunto e ignorar las piezas nilpotentes o embebidas al calcular multiplicidades de intersección, lo que conduce a conteos erróneos de multiplicidad u omisión de clases de obstrucción.

Consecuencia

Reconocer correctamente una intersección no reducida registra multiplicidades y componentes embebidas necesarias para la teoría de intersecciones, cálculos de deformación y para detectar exceso de intersección o no transversalidad.

Inversión

La inversión es la intersección reducida (o como conjunto), donde se pasa al subesquema inducido reducido sobre el conjunto cerrado común, desechando los nilpotentes y la estructura embebida.

Límite

Se aplica a intersecciones en geometría algebraica y álgebra conmutativa — esquemas, subesquemas e ideales; no surge para intersecciones puramente como conjuntos de espacios topológicos ni cuando se trabaja solo con esquemas reducidos.

Tensión semántica

Tensión entre la intersección como conjunto (puntos como lugar) y la intersección esquemática (estructura algebraica con multiplicidades y nilpotentes); también tensión con la noción de intersección propia frente a exceso de intersección.

Síntesis

Una intersección no reducida es la intersección esquemática que codifica multiplicidades algebraicas y componentes embebidas ausentes en el conjunto subyacente: es esencial cuando las multiplicidades de intersección, las obstrucciones o los fenómenos no transversos afectan conclusiones geométricas o de deformación.