La propriété d'un module ou d'un morphisme qui n'est pas plat : le produit tensoriel par ce module ne préserve pas les suites exactes, si bien que les changements de base peuvent produire des résultats non exacts et apparaissent de la torsion ou des groupes Tor.

Principe

La platitude est équivalente à l'exactitude du foncteur tensoriel ; la non‑platitude signale donc des relations cachées ou de la torsion qui empêchent le passage de l'exactitude à travers les produits tensoriels et causent des anomalies de changement de base.

Démonstration

Considérer la suite exacte 0→Z --×2--> Z → Z/2Z →0 et tensorer par Z/2Z ; comme Z/2Z n'est pas plat sur Z, le tensor détruit l'exactitude et Tor_1(Z/2Z,Z/2Z)≠0, illustrant concrètement la non‑platitude.

Mauvaise application

Supposer qu'un changement de base ou un tiré-en-arrière préserve noyaux et conoyaux sans vérifier la platitude conduit à des calculs incorrects de fibres ou à de fausses affirmations sur les dimensions en géométrie algébrique.

Conséquence

La non‑platitude entraîne l'échec des théorèmes de changement de base naïfs, la non-constance de la dimension des fibres, et peut introduire de la torsion indésirable dans des familles ; elle complique descente, déformation et calculs de cohomologie.

Inversion

La platitude rétablit l'exactitude du tensseur : les modules plats et morphismes plats permettent au changement de base de commuter avec la prise de noyaux et préservent les propriétés fibre par fibre, assurant des familles bien comportées.

Limite

Notion pour les modules et morphismes de schémas ou d'anneaux ; la non‑platitude n'indique pas nécessairement une pathologie universelle et doit être examinée par rapport aux suites exactes ou changements de base considérés.

Tension sémantique

Entre platitude, projectivité et liberté : projectif ou libre implique plat, mais plat n'implique pas projectif ; il ne faut pas confondre non‑platitude avec simple absence de liberté.

Synthèse

La non‑platitude est l'échec systématique du tenseur à préserver l'exactitude : elle révèle de la torsion ou des relations cachées qui compromettent le changement de base, le comportement fibre par fibre et de nombreuses simplifications attendues dans les familles plates.