La propiedad de un módulo o morfismo de no ser plano: el tensor con dicho módulo no preserva sucesiones exactas, por lo que el cambio de base puede dar resultados no exactos y aparecen torsión o grupos Tor.

Principio

La planitud es equivalente a la exactitud del functor tensor; la falta de planitud señala relaciones ocultas o torsión que obstruyen que la exactitud pase por productos tensoriales y provocan anomalías al cambiar la base.

Demostración

Considerar la sucesión exacta 0→Z --×2--> Z → Z/2Z →0 y tensorizar con Z/2Z; como Z/2Z no es plano sobre Z, el tensór destruye la exactitud y Tor_1(Z/2Z,Z/2Z)≠0, mostrando la falta de planitud.

Aplicación incorrecta

Asumir que un cambio de base o pullback preserva núcleos y cokernels sin comprobar la planitud conduce a cálculos de fibras incorrectos o afirmaciones falsas sobre dimensiones en geometría algebraica.

Consecuencia

La falta de planitud causa el fallo de teoremas de cambio de base ingenuos, la no constancia de la dimensión de las fibras y puede producir torsión no deseada en familias; complica descenso, deformación y cálculos de cohomología.

Inversión

La planitud restablece la exactitud del tensor: módulos planos y morfismos planos permiten que el cambio de base conmute con la toma de núcleos y preserven propiedades fibra a fibra, dando familias mejor comportadas.

Límite

Notión para módulos y morfismos de esquemas o anillos; la falta de planitud no implica por sí misma una patología universal y debe examinarse respecto de las sucesiones exactas o cambios de base considerados.

Tensión semántica

Entre planitud, proyectividad y libertad: proyectivo o libre implica plano, pero plano no implica proyectivo; no hay que confundir falta de planitud con mera ausencia de libertad.

Síntesis

La falta de planitud es el fallo sistemático del tensor para preservar la exactitud: revela torsión o relaciones ocultas que estropean el cambio de base, el comportamiento fibra a fibra y muchas simplificaciones esperadas en familias planas.