Un polynôme sur un corps de caractéristique positive dont la dérivée formelle est identiquement nulle (ou, plus généralement, dont les racines dans une clôture algébrique sont inséparables), de sorte que les racines présentent de l'inséparabilité et que le polynôme induit des extensions inséparables du corps.

Principe

En caractéristique p, l'annulation de la dérivée formelle indique que le polynôme est une fonction de x^{p} (après changement de variable) ou est purement inséparable ; l'inséparabilité fait obstacle à la théorie de Galois habituelle et produit des extensions sans plongements distincts.

Démonstration

Sur un corps de caractéristique p, le polynôme f(x) = x^{p} - a a pour dérivée 0 et est inséparable lorsque a n'est pas une puissance p‑ième ; de même x^{p^e} - b produit des extensions purement inséparables d'exposant e.

Mauvaise application

Supposer que les polynômes inséparables se comportent comme les polynômes séparables — par exemple compter des racines distinctes ou appliquer des arguments de descente galoisienne séparables ; les facteurs inséparables exigent un traitement différent en théorie des extensions et pour construire des corps de décomposition.

Conséquence

Les polynômes inséparables produisent des extensions qui ne sont pas engendrées par des plongements distincts et imposent de considérer la clôture purement inséparable ; géométriquement, ils donnent des fibres non réduites et affectent les critères d'étalité et de lissité.

Inversion

Un polynôme séparable a une dérivée formelle non nulle et des racines distinctes dans une clôture séparable ; la séparabilité rétablit la correspondance de Galois classique, un comportement simple de ramification et des corps de décomposition bien réglés.

Limite

L'inséparabilité n'existe qu'en caractéristique positive ; en caractéristique zéro tout polynôme est séparable. L'expression 'purement inséparable' insiste sur le fait que chaque racine a une multiplicité puissance de p et que le degré de l'extension est une puissance de p.

Tension sémantique

La tension vient entre 'inséparable' défini par la dérivée nulle et 'inséparable' au sens de la multiplicité des racines dans une factorisation donnée ; il faut aussi distinguer 'inséparable' et 'inséparable en familles' (comportement après changement de base).

Synthèse

Un polynôme inséparable en caractéristique p est celui dont la dérivée s'annule et dont les racines ne peuvent être séparées par des plongements distincts : il engendre des extensions purement inséparables qui modifient les propriétés arithmétiques, galoisiennes et géométriques par rapport au cas séparable.