Un polinomio sobre un cuerpo de característica positiva cuya derivada formal es idénticamente cero (o, más generalmente, cuyas raíces en una clausura algebraica son inseparables), de modo que las raíces aparecen con inseparabilidad y el polinomio induce extensiones de cuerpo inseparables.

Principio

En característica p, la anulación de la derivada formal indica que el polinomio es una función de x^{p} (tras cambio de variable) o es puramente inseparable; la inseparabilidad obstruye la teoría de Galois habitual y produce extensiones sin embeddings distintos.

Demostración

Sobre un cuerpo de característica p, f(x) = x^{p} - a tiene derivada 0 y es inseparable cuando a no es una p‑ésima potencia; más generalmente x^{p^e} - b produce extensiones puramente inseparables de exponente e.

Aplicación incorrecta

Suponer que los polinomios inseparables se comportan como los separables — por ejemplo, contar raíces distintas o aplicar argumentos de descenso galoisiano separable; los factores inseparables requieren un tratamiento distinto en la teoría de extensiones y en la construcción de cuerpos de descomposición.

Consecuencia

Los polinomios inseparables producen extensiones que no se generan por embeddings distintos y obligan a considerar el cierre puramente inseparable; geométricamente conducen a fibras no reducidas y afectan los criterios de étalidad y de suavidad.

Inversión

Un polinomio separable tiene derivada formal no nula y raíces distintas en una clausura separable; la separabilidad restaura la correspondencia galoisiana clásica, un comportamiento simple de ramificación y cuerpos de descomposición bien comportados.

Límite

La inseparabilidad es un fenómeno que solo aparece en característica positiva; en característica cero todo polinomio es separable. 'Puramente inseparable' subraya que cada raíz tiene multiplicidad potencia de p y que el grado de la extensión es una potencia de p.

Tensión semántica

Hay tensión entre 'inseparable' definido por derivada nula y 'inseparable' como multiplicidad de raíces en una factorización dada; también entre 'inseparable' y 'inseparable en familias' (comportamiento tras cambio de base), lo que requiere cuidado.

Síntesis

Un polinomio inseparable en característica p es aquel cuya derivada se anula y cuyas raíces no pueden separarse por embeddings distintos: genera extensiones puramente inseparables que modifican las propiedades aritméticas, galoisianas y geométricas en comparación con el caso separable.