Une composante d'un schéma ou d'un ensemble algébrique dont le support est contenu dans le support d'une autre composante (minimale) ; réalisée typiquement par un idéal premier associé non minimal et traduisant une structure non purement dimensionnelle ou non réduite.

Principe

Les composantes encastrées proviennent d'idéaux premiers associés non minimaux dans les décompositions primaires : elles signalent une structure cachée supportée le long d'une composante plus grande plutôt qu'une pièce irréductible de premier plan.

Démonstration

Pour l'idéal I = (x^2, xy) dans k[x,y], la décomposition primaire peut mettre en évidence une composante encastrée supportée en (x,y) à l'intérieur de la composante donnée par l'axe des x ; schématiquement cela apparaît comme une sous‑variété associée encastrée.

Mauvaise application

Considérer les composantes encastrées comme des composantes irréductibles véritablement distinctes pour compter les pièces géométriques (par exemple compter les multiplicités encastrées comme des composantes séparées) — les composantes encastrées ne doivent pas être confondues avec les premiers minimaux.

Conséquence

La présence de composantes encastrées affecte la profondeur, la cohomologie locale et le comportement des faisceaux ; elle indique que l'espace n'est pas équidimensionnel ou pas Cohen–Macaulay en ces points et complique les théories d'intersection et de déformation.

Inversion

Une composante isolée ou minimale est supportée par un premier minimal et correspond à une vraie pièce géométrique irréductible de premier plan ; supprimer les composantes encastrées donne la décomposition primaire topologique.

Limite

Les composantes encastrées correspondent à des premiers non minimaux et sont invisibles dans le support topologique du schéma réduit (ce sont des phénomènes schématiques) ; elles ne doivent pas être confondues avec des points encastrés de l'espace topologique sous‑jacent.

Tension sémantique

Tension entre « composante encastrée » et « premier associé » : chaque composante encastrée correspond à un premier associé non minimal, mais pas tout premier associé se comporte comme une composante géométrique distincte dans la topologie réduite.

Synthèse

Une composante encastrée est une pièce associée schématique non minimale, supportée à l'intérieur d'une composante plus grande : elle représente une structure infinitésimale ou de dimension non pure qui modifie les invariants algébriques et homologiques sans apparaître comme une composante géométrique réduite séparée.