Un point d'un morphisme fini (ou d'une extension) en lequel l'application cesse d'être étale ou localement bijective, mesuré par un indice de ramification supérieur à un ; algébriquement cela correspond à une inertie non triviale ou à une extension non triviale des corps résiduels.

Principe

Les points de ramification surviennent lorsque l'algèbre locale du morphisme acquiert des facteurs nilpotents ou des facteurs répétés dans la fibre, ou de façon équivalente lorsque l'indice de ramification valuatif ou le sous-groupe d'inertie est non trivial, provoquant une déviation de l'étaleness locale.

Démonstration

Pour l'application des anneaux k[t] → k[u] envoyant t sur u^e, l'image de u = 0 est un point de ramification d'indice e : la fibre a multiplicité e, la différentielle s'annule d'ordre e−1, et l'extension des corps résiduels est triviale tandis que le degré local augmente.

Mauvaise application

Confondre un point où la base est singulière avec un point de ramification du morphisme est une mauvaise application : la ramification concerne le comportement de la source au-dessus de la base, non les singularités intrinsèques de la base.

Conséquence

Localiser les points de ramification identifie le support des invariants locaux comme la différente, la discriminante et le conducteur, influence les formules de type Riemann–Hurwitz et contrôle l'action des groupes de Galois locaux ou d'inertie.

Inversion

Un point étale (non ramifié) est un point où le morphisme est plat et non ramifié : l'indice de ramification vaut un, la différentielle nulle est absente, et les anneaux locaux se comportent comme des extensions séparables.

Limite

S'applique aux morphismes finis de schémas, extensions finies de corps locaux et recouvrements algébriques ; exclut les phénomènes topologiques de branchement qui n'ont pas de donnée d'inertie algébrique et doit tenir compte de l'inséparabilité en caractéristique positive.

Tension sémantique

Le terme algébrique « point de ramification » recouvre le « point de branchement » analytique mais insiste sur l'inertie, les indices et la discriminante plutôt que sur la monodromie ; en arithmétique il se décompose aussi en comportements modérés et sauvages.

Synthèse

Un point de ramification est un point de la base d'un morphisme algébrique fini où l'étaleness échoue : les degrés locaux sautent, l'inertie agit non trivialement et des invariants algébriques tels que la différente et la discriminante enregistrent l'écart par rapport à l'absence de ramification.