Un punto de un morfismo finito (o extensión) en el que el mapa deja de ser étale o localmente bijectivo, medido por un índice de ramificación mayor que uno; algebraicamente esto corresponde a inercia no trivial o a una extensión no trivial de los campos residuales.

Principio

Los puntos de ramificación ocurren cuando la álgebra local del morfismo adquiere factores nilpotentes o repetidos en la fibra, o equivalentemente cuando el índice de ramificación valuativo o el subgrupo de inercia es no trivial, causando desviación de la étaleness local.

Demostración

Para el homomorfismo de anillos k[t] → k[u] que envía t a u^e, la imagen de u = 0 es un punto de ramificación de índice e: la fibra tiene multiplicidad e, la diferencial se anula de orden e−1 y la extensión de cuerpos residuales es trivial mientras que el grado local aumenta.

Aplicación incorrecta

Confundir un punto donde la base es singular con un punto de ramificación del morfismo es un error: la ramificación concierne al comportamiento de la fuente sobre la base, no a singularidades intrínsecas de la base.

Consecuencia

Localizar puntos de ramificación identifica donde se apoyan invariantes locales como la diferente, la discriminante y el conductor, influye en fórmulas tipo Riemann–Hurwitz y controla la acción de grupos locales de Galois o de inercia.

Inversión

Un punto étale (no ramificado) es aquel donde el morfismo es plano y no ramificado: el índice de ramificación es uno, la diferencial no se anula y los anillos locales se comportan como extensiones separables.

Límite

Se aplica a morfismos finitos de esquemas, extensiones finitas de campos locales y recubrimientos algebraicos; excluye fenómenos topológicos de bifurcación que no contienen datos algebraicos de inercia y debe considerar la inseparabilidad en característica positiva.

Tensión semántica

El término algebraico 'punto de ramificación' solapa con 'punto de bifurcación' analítico, pero enfatiza inercia, índices y discriminante más que monodromía; en contextos aritméticos se distingue además entre comportamientos moderados y salvajes.

Síntesis

Un punto de ramificación es un punto de la base de un morfismo algébrico finito donde falla la étaleness: los grados locales aumentan o cambian, la inercia actúa de forma no trivial y los invariantes algebraicos registran la desviación respecto a la no ramificación.