Caractérisation (théorème de Birkhoff) d'une classe équationnelle — appelée variété — d'algèbres : une classe d'algèbres d'un même signature est une variété précisément quand elle est fermée par images homomorphes, sous‑algèbres et produits directs (opérateurs de fermeture H, S, P).

Principe

Une classe est une variété si et seulement si elle est H‑, S‑ et P‑fermée ; équivalemment elle coïncide avec la classe des modèles d'un ensemble d'identités (lois équationnelles) dans la signature considérée.

Démonstration

Exemple : la classe de tous les groupes (signature : multiplication, inverse, identité) est fermée par quotients homomorphes, sous‑groupes et produits directs, donc forme une variété définie par les identités de groupe ; de même la classe des treillis est H, S, P‑fermée et constitue une variété.

Mauvaise application

Appliquer le critère HSP à des classes définies par des formules du premier ordre non équivalentes à des identités et en conclure qu'elles sont des variétés ; ou ne vérifier que deux des propriétés H, S, P (par exemple S et P) et déclarer la variété sans vérifier la fermeture par images homomorphes.

Conséquence

Lorsqu'une classe est une variété, on dispose d'outils algébriques uniformes : déduction équationnelle, existence d'algèbres libres, fermeture par quotients et produits, et résultats de structure standard comme la représentation subdirecte par des membres sous‑directement irréductibles.

Inversion

Inversement : une classe qui n'est pas fermée par l'une quelconque des opérations H, S, ou P n'est pas une variété ; par exemple la classe des corps n'est pas une variété parce qu'elle échoue à la fermeture par sous‑algèbres et produits directs.

Limite

S'applique uniquement aux algèbres d'une signature donnée avec opérations finies et aux classes closes par isomorphisme ; il ne caractérise pas les classes définies uniquement par des axiomes du premier ordre non réductibles à des identités, et n'est pas applicable hors du cadre algébrique.

Tension sémantique

Tension entre « variété » (classe équationnelle caractérisée par des identités) et « classe élémentaire » (axiomatisable par des formules du premier ordre) : HSP vise la première et non la seconde ; tension aussi entre HSP et des propriétés de fermeture plus faibles comme la propriété d'assemblage conjoint.

Synthèse

Le théorème HSP fait le lien entre vues algébriques et catégoriques : une variété est exactement une classe définie par des identités et, de façon équivalente, une classe fermée par images homomorphes, sous‑algèbres et produits directs, ce qui permet des constructions canoniques (quotients, sous‑structures, produits) et fonde l'existence d'objets libres et des décompositions subdirectes.