Una caracterización (teorema de Birkhoff) de una clase ecuacional — llamada variedad — de álgebras: una clase de álgebras de una firma fija es una variedad exactamente cuando está cerrada bajo imágenes homomorfas, subálgebras y productos directos (operadores H, S, P).

Principio

Una clase es una variedad si y sólo si es cerrada por H, S y P; equivalentemente es la clase de todos los modelos que satisfacen un conjunto de identidades (leyes ecuacionales) en la firma dada.

Demostración

Ejemplo: la clase de todos los grupos (firma: multiplicación, inverso, identidad) se cierra por imágenes homomorfas, subgrupos y productos directos, por tanto es una variedad definible por las identidades de grupo; asimismo la clase de retículos es H, S, P‑cerrada y constituye una variedad.

Aplicación incorrecta

Aplicar el criterio HSP a clases definidas por fórmulas de primer orden no equivalentes a identidades y concluir que son variedades; o comprobar solo dos de H, S, P (por ejemplo S y P) y afirmar que es una variedad sin verificar la clausura por imágenes homomorfas.

Consecuencia

Si una clase es una variedad, se obtienen herramientas algebraicas uniformes: deducción ecuacional, existencia de álgebras libres, cierre por cocientes y productos, y teoremas estructurales estándar como la representación subdirecta por miembros subdirectamente irreducibles.

Inversión

A la inversa: una clase que no está cerrada bajo cualquiera de H, S o P no puede ser una variedad; por ejemplo la clase de cuerpos no es una variedad porque falla la clausura por subálgebras y productos directos.

Límite

Se aplica solamente a álgebras de una firma fija con operaciones finitas y a clases cerradas por isomorfismo; no caracteriza clases definidas únicamente por axiomas de primer orden que no son equivalentes a identidades, ni es aplicable fuera del marco algebraico.

Tensión semántica

Tensión entre «variedad» (clase ecuacional caracterizada por identidades) y «clase elemental» (axiomatizable por oraciones de primer orden): HSP caracteriza la primera, no la segunda; también existe tensión entre HSP y propiedades de cierre más débiles como la propiedad de embebido conjunto.

Síntesis

El teorema HSP unifica puntos de vista algebraicos y categóricos: una variedad es exactamente una clase definida por identidades y, equivalentemente, una clase cerrada por imágenes homomorfas, subálgebras y productos directos; eso da lugar a construcciones canónicas y fundamenta objetos libres y descomposiciones subdirectas.