Un modèle M est κ‑saturé (pour un cardinal κ) si tout type cohérent sur un ensemble de paramètres de taille strictement inférieure à κ est réalisé dans M ; en termes simples, M est aussi riche que sa taille le permet en réalisant tous les petits types.

Principe

Complétude par réalisation relative à un cardinal : la saturation mesure la capacité d'une structure à réaliser toutes les descriptions potentielles (types) sur de petits ensembles de paramètres, transformant la cohérence syntaxique en éléments effectifs du modèle.

Démonstration

Pour une théorie complète dénombrable, un modèle ω‑saturé réalise tout type sur des ensembles de paramètres finis ou dénombrables ; dans les théories stables on construit souvent des modèles saturés de cardinaux arbitrairement grands, par exemple des corps algébriquement clos saturés de grande transcendance réalisent tous les types algébriques et non algébriques au-dessus de petits ensembles.

Mauvaise application

Confondre saturation avec la simple homogénéité ou avec le fait d'être « grand » par la cardinalité seule ; un modèle de grande cardinalité n'est pas nécessairement saturé, et l'homogénéité (extension des automorphismes partiels) est liée mais distincte de la saturation.

Conséquence

Les modèles saturés sont des outils centraux pour la classification : ils sont souvent uniques à isomorphisme près dans une cardinalité donnée sous des hypothèses de stabilité, facilitent les constructions back-and-forth et concrétisent l'espace des types en fournissant des réalisations pour tous les petits types.

Inversion

Un modèle non saturé omet certains types cohérents de petite taille ; ces omissions peuvent témoigner d'indépendance, produire des extensions non isomorphes et empêcher des arguments canoniques back-and-forth qui requièrent la réalisation des types.

Limite

La saturation dépend du cardinal et n'a de sens que dans un contexte du premier ordre avec une langue fixée et des considérations d'arithmétique des cardinaux ; l'existence et l'unicité exigent des hypothèses (par exemple la stabilité ou des hypothèses d'ensemble) et ne sont pas automatiques pour toutes les théories ou cardinaux.

Tension sémantique

Tension avec homogénéité et atomicité : la saturation concerne la réalisation de tous les petits types, l'homogénéité exige l'extension des isomorphismes partiels et l'atomicité demande que les types soient isolés — ces notions se recoupent mais diffèrent en force et en domaine d'application.

Synthèse

Un modèle saturé est une structure maximisant la réalisation des types pour une taille donnée : il concrétise toutes les spécifications syntaxiquement cohérentes de petite taille en éléments effectifs, servant d'environnement canonique et bien équilibré pour analyser les types et les notions d'indépendance.