Ein Modell M ist κ‑gesättigt (für eine Kardinalität κ), wenn jeder konsistente Typ über einer Parametersmenge der Größe < κ in M realisiert wird; kurz: M ist relativ zu seiner Größe so reich wie möglich, indem es alle kleinen Typen realisiert.

Prinzip

Realisationseinheitlichkeit relativ zur Kardinalität: Sättigung misst die Fähigkeit einer Struktur, alle potenziellen Beschreibungen (Typen) über kleinen Parametersätzen zu realisieren und so syntaktische Konsistenz in tatsächliche Modelllemente umzusetzen.

Demonstration

Für eine abzählbare vollständige Theorie realisiert ein ω‑gesättigtes Modell jeden Typ über endlichen oder abzählbaren Parametersätzen; in stabilen Theorien konstruiert man oft gesättigte Modelle beliebig großer Kardinalitäten, z. B. gesättigte algebraisch abgeschlossene Körper großer Transzendenzrealisierung, die alle algebraischen und nichtalgebraischen Typen über kleinen Mengen realisieren.

Fehlanwendung

Sättigung mit bloßer Homogenität oder bloßer 'Größe' verwechseln; ein Modell großer Kardinalität ist nicht notwendigerweise gesättigt, und Homogenität (Erweiterbarkeit partieller Automorphismen) ist verwandt, aber nicht identisch mit Sättigung.

Konsequenz

Gesättigte Modelle sind zentrale Werkzeuge der Klassifikation: unter Stabilitätsannahmen sind sie in einer gegebenen Kardinalität oft eindeutig bis auf Isomorphie, erleichtern Back-and-Forth-Konstruktionen und machen die Typenräume konkret, indem sie Realisierungen für alle kleinen Typen bereitstellen.

Umkehrung

Ein nicht gesättigtes Modell lässt gewisse konsistente kleine Typen aus; das Auslassen solcher Typen kann Unabhängigkeit nachweisen, nichtisomorphe Erweiterungen erzeugen und kanonische Back-and-Forth-Argumente verhindern, die auf Typrealisierung beruhen.

Abgrenzung

Sättigung ist kardinalabhängig und sinnvoll nur im Kontext der ersten Ordnung mit einer festen Sprache und Betrachtung der Kardinalarithmetik; Existenz und Eindeutigkeit erfordern Hypothesen (z. B. Stabilität oder mengen-theoretische Annahmen) und gelten nicht automatisch für beliebige Theorien oder Kardinalitäten.

Semantische Spannung

Spannung zu Homogenität und Atomizität: Sättigung betrifft die Realisierung aller kleinen Typen, Homogenität verlangt Erweiterbarkeit partieller Isomorphismen und Atomizität verlangt isolierte Typen — diese Begriffe überlappen, unterscheiden sich aber in Stärke und Anwendbarkeit.

Synthese

Ein gesättigtes Modell ist eine maximal typrealiserende Struktur in einer gegebenen Größe: es verwandelt alle syntaktisch konsistenten kleinen Spezifikationen in tatsächliche Elemente und dient als kanonische, gut handhabbare Umgebung zur Analyse von Typen und Unabhängigkeit.