Propriété d'une théorie du premier ordre T selon laquelle tout plongement entre modèles de T est élémentaire ; de façon équivalente, toute formule est T-équivalente à une formule existentielle (ou à une formule universelle après négation), de sorte que la vérité est préservée par les plongements de sous-structures qui sont des plongements élémentaires.

Principe

Réduire la vérité des formules arbitraires à des assertions existentielles : si les plongements entre modèles sont élémentaires alors la complexité syntaxique peut se réduire à la forme existentielle, ce qui permet le transfert des propriétés définissables par plongement.

Démonstration

La théorie des corps algébriquement clos d'une caractéristique fixée est modèle-complète : tout plongement d'un corps algébriquement clos dans un autre est élémentaire, et de nombreuses conditions définissables se traduisent par des équations polynomiales existentielles.

Mauvaise application

Considérer une théorie modèle-complète comme si elle admettait une élimination complète des quantificateurs ; la modèle-complétude n'implique pas que toute formule soit quantificateur-free, donc présumer une élimination des quantificateurs quand elle n'existe pas est incorrect.

Conséquence

On obtient un théorème de préservation robuste : les conséquences existentielles gouvernent le comportement des extensions, les compagnes de modèle (lorsqu'elles existent) sont souvent modèle-complètes, et de nombreux arguments de transfert se réduisent à vérifier des formules existentielles.

Inversion

Une théorie non modèle-complète admet des plongements entre modèles qui ne sont pas élémentaires ; certaines formules voient leur valeur de vérité changer sous plongement, de sorte que les formules existentielles ne suffisent pas à capturer toutes les propriétés définissables.

Limite

S'applique aux théories du premier ordre dans un langage fixé ; la modèle-complétude est une propriété syntaxique/ sémantique des théories, non d'ensembles arbitraires de structures hors de la logique du premier ordre ou sans langage précisé.

Tension sémantique

Voisine de l'élimination des quantificateurs mais strictement plus faible : l'élimination des quantificateurs exige l'équivalence à des formules sans quantificateurs alors que la modèle-complétude n'impose que l'équivalence à des formules existentielles ; distincte aussi de la complétude de la théorie.

Synthèse

La modèle-complétude signifie que les plongements conservent toutes les vérités du premier ordre et que le contenu de la théorie se vérifie par des descriptions existentielles ; elle simplifie les arguments modèle-théoriques sans exiger une élimination complète des quantificateurs.