Eine Eigenschaft einer prädikatenlogischen Theorie T, wonach jede Einbettung zwischen Modellen von T elementar ist; äquivalent dazu ist, dass jede Formel in T äquivalent zu einer existentiellen Formel ist (bzw. nach Negation zu einer universellen), sodass Wahrheit durch Einbettungen erhalten bleibt.

Prinzip

Reduktion beliebiger Formeln auf existentielle Behauptungen: Sind Einbettungen elementar, kann syntaktische Komplexität auf existenzielle Form umgewandelt werden, was den Transfer definierbarer Eigenschaften über Einbettungen ermöglicht.

Demonstration

Die Theorie der algebraisch abgeschlossenen Körper einer festen Charakteristik ist modellvollständig: jede Einbettung eines algebraisch abgeschlossenen Körpers in einen anderen ist elementar, und viele definierbare Bedingungen lassen sich durch existentielle polynomiale Gleichungen ausdrücken.

Fehlanwendung

Die Modellvollständigkeit fälschlich mit vollständiger Quantorenelimination gleichsetzen; Modellvollständigkeit impliziert nicht, dass jede Formel quantorenfrei ist, daher wäre das Annehmen von Quantorenelimination ohne Gewähr fehlerhaft.

Konsequenz

Es ergibt sich ein stabiles Erhaltungsergebnis: existentielle Folgerungen bestimmen das Erweiterungsverhalten, Modellbegleiter (sofern vorhanden) sind oft modellvollständig, und viele Transferargumente lassen sich auf die Prüfung existentieller Formeln zurückführen.

Umkehrung

Eine modellunvollständige Theorie besitzt Einbettungen zwischen Modellen, die nicht elementar sind; manche Formeln ändern ihren Wahrheitswert unter Einbettungen, sodass existenzielle Formeln nicht ausreichen, alle definierbaren Eigenschaften zu erfassen.

Abgrenzung

Gilt für prädikatenlogische Theorien in einer festen Sprache; Modellvollständigkeit ist eine syntaktisch-semantische Eigenschaft von Theorien, nicht von beliebigen Strukturklassen außerhalb der ersten Ordnung oder ohne festgelegte Sprache.

Semantische Spannung

Nahe an Quantorenelimination, aber strikt schwächer: Quantorenelimination verlangt Äquivalenz zu quantorenfreien Formeln, Modellvollständigkeit nur Äquivalenz zu existentiellen Formeln; unterscheidbar auch von der Vollständigkeit einer Theorie.

Synthese

Modellvollständigkeit bedeutet, dass Einbettungen alle erstordentlichen Wahrheiten erhalten und dass der theoretische Gehalt durch existentielle Beschreibungen geprüft werden kann; sie vereinfacht modelltheoretische Argumente ohne vollständige Quantorenelimination zu fordern.