Une théorie T* est un compagnon de modèle d'une théorie T si T* est modèle‑complète et si tout modèle de T s'embed (s'immerge) dans un modèle de T* (équivalemment T et T* ont les mêmes conséquences universelles), de sorte que T* incarne canoniquement le comportement existentialement clos relatif à T.

Principe

Un compagnon de modèle consolide les conséquences existentielles de T en une théorie modèle‑complète : il complète T du point de vue model‑théorique en garantissant que les immersions dans des modèles du compagnon reflètent les propriétés existentielles et que le compagnon élimine l'indétermination existentielle.

Démonstration

La théorie des corps algébriquement clos d'une caractéristique fixée est le compagnon de modèle de la théorie des corps de cette caractéristique : tout corps s'immerge dans un corps algébriquement clos et ACF est modèle‑complète, donc ACF est le compagnon canonique de la théorie des corps.

Mauvaise application

Supposer que toute théorie consistante possède un compagnon de modèle ; en réalité l'existence peut échouer — considérer arbitrairement une extension modèle‑complète de T sans vérifier la conservation des conséquences universelles peut conduire à une fausse affirmation de compagnonnage.

Conséquence

Lorsqu'un compagnon existe, il fournit un cadre solide pour analyser les modèles de T via des méthodes modèle‑complètes : les modèles existentialement clos deviennent des objets centraux, une réduction des quantificateurs pour certaines formules est possible et le transfert des propriétés existentielles de T vers T* est systématique.

Inversion

Une théorie qui étend T mais n'est pas modèle‑complète (ou qui ne conserve pas la partie universelle de T) n'est pas un compagnon de modèle ; une telle extension peut ajouter de la structure mais échoue à offrir la clôture modèle‑théorique canonique qu'incarne un compagnon.

Limite

Un compagnon peut ne pas exister et n'est pas unique sauf à équivalence logique ; le compagnon se rapporte seulement à des théories partageant la même partie universelle et n'assure pas automatiquement l'élimination des quantificateurs ni que tout plongement soit élémentaire.

Tension sémantique

On confond souvent compagnon de modèle et complétion de modèle ; la tension concerne le degré de « complétude » requis : un compagnon doit être modèle‑complet et partager les conséquences universelles de T, tandis qu'une complétion exige en plus que chaque modèle de T s'insère comme sous‑structure dans un modèle de la complétion.

Synthèse

Un compagnon de modèle de T est une théorie modèle‑complète T* qui capte le comportement existentialement clos compatible avec les axiomes universels de T, servant de clôture modèle‑théorique qui rend les propriétés existentielles accessibles au sein d'une théorie compagnon canonique.