Eine Theorie T* heißt Modellbegleiter (Model Companion) von T, wenn T* modellvollständig ist und jedes Modell von T in ein Modell von T* eingebettet werden kann (äquivalent: T und T* haben dieselben universellen Konsequenzen), sodass T* das existential abgeschlossenes Verhalten relativ zu T kanonisch erfasst.

Prinzip

Ein Modellbegleiter konsolidiert die existentiellen Konsequenzen von T zu einer modellvollständigen Theorie: er vervollständigt T aus modelltheoretischer Sicht, indem er sicherstellt, dass Einbettungen in Modelle des Begleiters existenzielle Eigenschaften widerspiegeln und existenzielle Unbestimmtheit beseitigt wird.

Demonstration

Die Theorie der algebraisch abgeschlossenen Körper einer festen Charakteristik ist der Modellbegleiter der Theorie der Körper mit dieser Charakteristik: jeder Körper lässt sich in einen algebraisch abgeschlossenen Körper einbetten und ACF ist modellvollständig, daher ist ACF der kanonische Begleiter.

Fehlanwendung

Zu glauben, jede konsistente Theorie habe einen Modellbegleiter; tatsächlich kann die Existenz versagen — einfach eine modellvollständige Erweiterung von T als Begleiter zu bezeichnen, ohne zu prüfen, ob die universellen Konsequenzen erhalten bleiben, ist fehlerhaft.

Konsequenz

Existiert ein Modellbegleiter, bietet er ein robustes Werkzeug zur Analyse der Modelle von T mittels modellvollständiger Methoden: existenziell abgeschlossene Modelle werden zentrale Objekte, Quantorreduktionen für bestimmte Formeln werden möglich, und der Transfer existenzieller Eigenschaften von T zu T* erfolgt systematisch.

Umkehrung

Eine Theorie, die T erweitert, aber nicht modellvollständig ist (oder die universelle Theorie von T nicht bewahrt), ist kein Modellbegleiter; eine solche Erweiterung kann zusätzliche Struktur liefern, fehlt jedoch die kanonische modelltheoretische Schließung eines Begleiters.

Abgrenzung

Ein Begleiter muss nicht existieren und ist nicht eindeutig außer bis auf logische Äquivalenz; Modellbegleiter beziehen sich nur auf Theorien mit derselben universellen Teiltheorie und garantieren nicht automatisch Quantorenelimination oder dass jede Einbettung elementar ist.

Semantische Spannung

Modellbegleiter wird oft mit Modellkompletion verwechselt; die Spannung besteht in der geforderten Stufe der ‚Vervollständigung‘: Begleiter müssen modellvollständig sein und universelle Konsequenzen teilen, während Kompletion zusätzlich verlangt, dass jedes Modell von T als Teilstruktur in ein Modell der Kompletion eingebettet wird.

Synthese

Ein Modellbegleiter von T ist eine modellvollständige Theorie T*, die das existenziell abgeschlossene Verhalten verträglich zu Ts universellen Axiomen erfasst und als modelltheoretische Schließung fungiert, welche existenzielle Eigenschaften innerhalb einer kanonischen Begleiter‑Theorie zugänglich macht.