Une classe d’algèbres axiomisable par des phrases universelles Horn (quasi‑identités) ; équivalente à une classe fermée par sous‑algèbres, produits directs et ultraproducts (et isomorphismes), mais pas nécessairement par images homomorphes.

Principe

Affaiblir l’exigence équationnelle en autorisant des implications universelles Horn entre formules atomiques : les axiomes sont de la forme « conjonction d’équations implique une équation » ; ceci entraîne la fermeture sous S (sous‑algèbres), P (produits) et ultraproducts tout en permettant des restrictions non purement équationnelles.

Démonstration

La classe des groupes abéliens sans torsion s’exprime par la famille de quasi‑identités « pour chaque n>0, n·x = 0 implique x = 0 » avec les identités de groupe abélien ; cette classe est fermée par sous‑groupes, produits directs et ultraproducts, illustrant une quasivariété qui n’est pas une variété parce que des quotients peuvent perdre la propriété sans torsion.

Mauvaise application

Traiter toute quasivariété comme une variété et attendre la fermeture par images homomorphes donnera des contre‑exemples : un quotient d’une structure satisfaisant les axiomes Horn peut violer les conditions implicatives et sortir de la classe.

Conséquence

Les quasivariétés conservent de nombreux outils algébriques (constructions par produit et sous‑structures, certaines notions d’objets libres dans des sens restreints) et constituent le cadre naturel pour les propriétés exprimables par l’implication d’équations, faisant le lien entre algèbre équationnelle et théories universelles plus générales.

Inversion

Exiger des axiomes purement équationnels renforce une quasivariété en variété et rétablit la fermeture par images homomorphes et l’ensemble complet des constructions libres équationnelles ; aller dans l’autre sens (autoriser des phrases du premier ordre arbitraires) perd les propriétés de fermeture Horn uniformes.

Limite

Inclut les classes définissables par une théorie universelle Horn sur une signature fixée ; exclut les classes nécessitant des quantificateurs existentiels, des disjonctions en tête, ou des phrases universelles non‑Horn, et ne garantit pas la fermeture sous images homomorphes arbitraires.

Tension sémantique

La tension principale vient entre la commodité expressive des implications Horn (permettant des identités conditionnelles) et la force algébrique des identités pures : certaines familles naturelles sont des quasivariétés mais pas des variétés, créant une ambiguïté quant aux principes de fermeture applicables.

Synthèse

Une quasivariété est la collection des modèles d’axiomes universels Horn : elle généralise les variétés en admettant des équations conditionnelles, assurant la fermeture sous sous‑algèbres, produits et ultraproducts mais typiquement pas sous images homomorphes arbitraires, et constitue ainsi l’intermédiaire entre les classes équationnelles et les classes du premier ordre complètes.