Eine Klasse von Algebren, die durch universelle Horn‑Sätze (Quasi‑Identitäten) axiomatisierbar ist; äquivalent zu einer Klasse, die unter Unteralgebren, direkten Produkten und Ultraprodukten (sowie Isomorphismen) abgeschlossen ist, jedoch nicht notwendigerweise unter homomorphen Bildern.

Prinzip

Die äquationale Forderung durch Zulassen universeller Horn‑Implikationen zwischen atomaren Formeln abschwächen: Axiome haben die Gestalt ‚Konjunktion von Gleichungen impliziert eine Gleichung‘; dies erzeugt Abschlüsse unter S (Unteralgebren), P (Produkte) und Ultraprodukten und erlaubt zugleich nicht rein äquationale Einschränkungen.

Demonstration

Die Klasse der torsionsfreien abelschen Gruppen lässt sich durch die Familie von Quasi‑Identitäten ‚für jedes n>0 gilt: n·x = 0 ⇒ x = 0‘ zusammen mit den abelschen Gruppenidentitäten ausdrücken; diese Klasse ist unter Untergruppen, direkten Produkten und Ultraprodukten abgeschlossen und ist ein Beispiel für eine Quasivarietät, die keine Varietät ist, weil Quotienten nicht notwendigerweise torsionsfrei bleiben.

Fehlanwendung

Jede Quasivarietät wie eine Varietät zu behandeln und Abschluss unter homomorphen Bildern zu erwarten, führt zu Gegenbeispielen: Ein Quotient einer Struktur, die die Horn‑Axiome erfüllt, kann die implikativen Bedingungen verletzen und aus der Klasse herausfallen.

Konsequenz

Quasivarietäten bewahren viele algebraische Werkzeuge (Produkt‑ und Unterstrukturkonstruktionen, gewisse freie Objektbegriffe in eingeschränktem Sinn) und bieten den natürlichen Rahmen für durch Implikation von Gleichungen ausdrückbare Eigenschaften, wodurch sie die Lücke zwischen äquationaler Algebra und allgemeineren universellen Theorien schließen.

Umkehrung

Das Erzwingen voll äquationaler Axiome (nur Identitäten) stärkt eine Quasivarietät zu einer Varietät und stellt den Abschluss unter homomorphen Bildern sowie die vollständigen äquationalen Freikonstruktionen wieder her; in die andere Richtung (zulassen beliebiger FOL‑Sätze) gehen die einheitlichen Horn‑Abschlusseigenschaften verloren.

Abgrenzung

Enthält Klassen, die durch universelle Horn‑Theorien über einer festen Signatur definierbar sind; schließt Klassen aus, die Existenzquantoren, Disjunktionen an oberster Stelle oder nicht‑Horn universelle Sätze erfordern, und garantiert nicht den Abschluss unter beliebigen homomorphen Bildern.

Semantische Spannung

Die hauptsächliche Spannung besteht zwischen der Ausdruckskraft von Horn‑Implikationen (bedingte Identitäten) und der algebraischen Stärke reiner Identitäten: Natürliche Familien können Quasivarietäten, aber keine Varietäten sein, was Unklarheiten bei anzuwendenden Abschlusssätzen schafft.

Synthese

Eine Quasivarietät ist die Klasse der Modelle universeller Horn‑Axiome: Sie verallgemeinert Varietäten durch Zulassen bedingter Gleichungen, ist unter Unteralgebren, Produkten und Ultraprodukten abgeschlossen, typischerweise aber nicht unter beliebigen homomorphen Bildern, und bildet das Zwischenstück zwischen äquationalen und vollständigen ersten‑Ordnung‑Klassen.