L'opération algébrique qui récupère un polynôme ou un système affine à partir d'un polynôme homogène (projectif) en spécialisant la variable d'homogénéisation à une constante non nulle (souvent 1) ou en choisissant une carte affine ; elle transforme des équations homogènes en coordonnées projectives en équations usuelles en coordonnées affines.

Principe

Choisir une coordonnée projective (la variable d'homogénéisation) qui est inversible sur une carte affine donnée et lui substituer une valeur non nulle fixe, ce qui projette la variété projective sur une variété affine et élimine le degré de liberté d'homothétie.

Démonstration

Pour un polynôme homogène F(x0,x1,...,xn) de degré d, poser x0 = 1 donne f(x1,...,xn) = F(1,x1,...,xn). Pour un système définissant une courbe projective, déshomogénéiser par rapport à x0 produit un système affine dont les solutions finies correspondent aux solutions projectives avec x0 ≠ 0 ; les points avec x0 = 0 sont à l'infini et ne sont pas retrouvés par cette carte. En résolution numérique, on déshomogénéise souvent un système homogénéisé avant d'appliquer des solveurs affines, en gardant à l'esprit que les multiplicités à l'infini peuvent être perdues ou nécessiter un changement de coordonnées.

Mauvaise application

Substituer aveuglément 1 pour la variable d'homogénéisation sans vérifier quelles solutions projectives ont cette coordonnée non nulle peut masquer des solutions à l'infini ; poser x0 = 0 ou imposer une valeur non inversible produit des équations affines sans sens et peut détruire l'information de multiplicité ou introduire des dégénérescences artificielles.

Conséquence

Correctement appliquée, la déshomogénéisation fournit un système affine utilisable par les méthodes algébriques et numériques habituelles, réduit la dimension de l'anneau de coordonnées ambiant d'une unité et donne une carte de la variété projective ; elle peut toutefois omettre des points situés dans d'autres cartes projectives et modifier la structure apparente des multiplicités si l'on n'agit pas avec précaution.

Inversion

Homogénéisation : introduction d'une variable d'homogénéisation supplémentaire pour convertir des polynômes affines en formes homogènes, rendant accessibles les techniques projectives et les constructions fondées sur le degré (résultants, matrices de Macaulay) ; homogénéisation et déshomogénéisation sont inverses seulement à une constante d'échelle et au choix de la carte.

Limite

S'applique uniquement lorsque la coordonnée projective choisie est inversible (sur un corps ou un anneau où la constante choisie est un élément inversible) ; elle ne capture pas les points projectifs de l'hyperplan où la variable choisie s'annule et ne préserve pas systématiquement les multiplicités sans analyse locale ou changement de carte.

Tension sémantique

La tension est entre le point de vue affine local obtenu par déshomogénéisation et la perspective projective globale et invariante : la déshomogénéisation simplifie les calculs mais sacrifie le traitement uniforme des directions à l'infini ; le choix de la carte brise la canonicité.

Synthèse

La déshomogénéisation est la spécialisation contrôlée de la coordonnée d'homogénéisation pour produire un modèle affine d'un système projectif : elle échange l'invariance projective globale contre une représentation affine concrète utile au calcul, au prix de la perte possible d'information et de la sensibilité des multiplicités au choix de la carte.